Durch die Relationen, die zwischen den Jacobischen \(\vartheta \)-Funktionen existieren, erhält man Identitäten der Form: \[ a_0 + \sum _{i=1}^r a_i\cos n_ix =0\qquad (a_i, n_i \text{ ganze rationale Zahlen}), \] die für alle ganzzahligen \(x\) gelten. Ist also \(f(z)\) eine Beliebige gerade Funktion, so muß: \[ a_0f(0) + \sum _{i=1}^r a_if(n_i)=0 \] sein. Entsprechende Relationen existieren, wenn der cos durch den sin ersetzt ist und \(f(x)\) ungerade ist. Dieses Prinzip gestattet es, ganz allgemeine Klassenzahlrelationen zu erhalten. Sie enthalten die alten Kronecker-Hermiteschen, falls man \(f(x) =1\) setzt. Der Verf. gibt drei verschiedene Typen von Klassenzahlrelationen an. Er zeigt an einem Zahlenbeispiel, wie eine solche aussieht. Setzt man : \[ f(x)=\varphi (x), \;\;\text{wo}\;\;\varphi (0)=1,\;\;\varphi (x)=0,\;\;|x|>0, \] so lautet die erste der angegebenen Klassenzahlrelationen: \[ \sum \varepsilon (\alpha ')\,\varphi (\sqrt {\alpha '}-d^{\prime\prime }) +2{\sum}'\,\varphi \Bigl(\frac {d'+\delta '}{2}-d^{\prime\prime }\Bigr)= F(\beta ). \] Dabei ist \(\beta\equiv 3\) (mod 4), \(\beta =\alpha '+2m^{\prime\prime }\), wo \(\alpha '\equiv 1\) (mod 4) ist, \(\alpha '=d\delta '\), \(\beta =d\delta \), \(\varepsilon (n)=1\) oder 0, je nachdem \(n\) ein Quadrat ist oder nicht; \(F(n)\) ist die Klassenzahl der ungeraden binären quadratischen Formen der Determinante – \(n\). Die Summen sind über alle \(\alpha '\), \(d'\), \(\delta '\), \(d^{\prime\prime }\) zu erstrecken. Diese Formel sagt aus, daß \(F(\beta )\) gleich der Anzahl der Lösungen von \(\beta = u^2+2uv\), \(u,v <0\) und \(u\equiv 1\) (mod 4), plus der Zahl der Lösungen von \[ \beta =xy+yz+zx, \] ist, für die \(x > 0\), \(y> 0\), \(z> 0\) und \(\equiv 1\) (mod 2), \(x < y\), \(x\equiv y\) (mod 4) ist. Hieraus leitet der Verf. den Satz ab: Die Anzahl aller Darstellungen einer Primzahl \(p\) durch die Form: \(xy + yz + zx\) in positiven Zahlen \(x\), \(y\), \(z\) ist gleich \(3(G(p)-1)\), wo \(G(p)\) die Anzahl aller binären, quadratischen Formen der Determinante \(-p\) ist.
Setzt man \(f(x) = x^2\), so erhält man die Formeln von Liouville.