L’equazione differenziale risolvente dell’equazione trinomia. (Italian) JFM 48.1138.02
Es handelt sich um die trinomische Gleichung
\[
z^n + az^p - b = 0.
\]
1. Dieselbe kann stets auf die Form \[ y^n + xy^p - 1 = 0 \] transformiert werden. Dann gibt eine von Capelli (Napoli Rend. (3) 13, 192, 289 und 342; F. d. M. 38, 120 (JFM 38.0120.*), 1907) angegebene, vom Verf. (Annali di Mat. (3) 29, 251,1920) vervollständigte Methode zur Reihenentwicklung der Wurzeln algebraischer Gleichungen, auf den vorliegenden Fall spezialisiert, für die \(s\)-te Potenz der Wurzel \(y = y(x)\) mit \(y(0) = 1\) die Entwicklung \[ y^s=\dfrac{s}{n}\sum_{\alpha=0}^\infty(-1)^\alpha \dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac{p\alpha+s}{n}\biggl)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma\biggl(1+ \dfrac{s-q\alpha}{n}\biggr)}x^\alpha, \;\text{wo} \;q= n - p. \] Diese war kürzlich durch Mellin (Ann. Acad. Sc. Fenn. (A) 7, Nr. 7; F. d. M. 45, 681,1914-15) wiedergefunden worden. Weiter genügt \(y^s\) als Funktion von \[ t=(-1)^pp^pq^pn^{-n}x^n \] der “lösenden Differentialgleichung” \[ t^{n-1}\dfrac{d^ny^s}{dt^n}=\prod_{v=0}^{p-1}\biggl(t\dfrac{d}{dt}+\dfrac{s-nv}{pn}\biggr) \prod^{q-1}_{v=0}\biggl(t\dfrac{d}{dt}-\dfrac{s-nv}{qn}\biggr)y^s, \] die ein Spezialfall der von Goursat so genannten “verallgemeinerten hypergeometrischen Differentialgleichung” ist, so daß \(y^s\) auf verschiedene Weisen mit Hilfe verallgemeinerter hypergeometrischer Funktionen ausdrückbar ist.
2. Führt man die entsprechenden Betrachtungen bei der Gleichung \[ y^n-y+x=0 \] durch, auf welche sich die Auflösung der trinomischen Gleichung ebenfalls zurückführen läßt, so ergeben sich für \(s = 1\) Resultate von Birkeland (C. R. 171, 778; F. d. M. 47, 331 (JFM 47.0331.*), 1919-20).
3. Zum Schluß die Andeutung der Gedankengänge im Falle der allgemeinen Gleichung \(n\)-ten Grades. (IV 4, IV 9.)
1. Dieselbe kann stets auf die Form \[ y^n + xy^p - 1 = 0 \] transformiert werden. Dann gibt eine von Capelli (Napoli Rend. (3) 13, 192, 289 und 342; F. d. M. 38, 120 (JFM 38.0120.*), 1907) angegebene, vom Verf. (Annali di Mat. (3) 29, 251,1920) vervollständigte Methode zur Reihenentwicklung der Wurzeln algebraischer Gleichungen, auf den vorliegenden Fall spezialisiert, für die \(s\)-te Potenz der Wurzel \(y = y(x)\) mit \(y(0) = 1\) die Entwicklung \[ y^s=\dfrac{s}{n}\sum_{\alpha=0}^\infty(-1)^\alpha \dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac{p\alpha+s}{n}\biggl)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma\biggl(1+ \dfrac{s-q\alpha}{n}\biggr)}x^\alpha, \;\text{wo} \;q= n - p. \] Diese war kürzlich durch Mellin (Ann. Acad. Sc. Fenn. (A) 7, Nr. 7; F. d. M. 45, 681,1914-15) wiedergefunden worden. Weiter genügt \(y^s\) als Funktion von \[ t=(-1)^pp^pq^pn^{-n}x^n \] der “lösenden Differentialgleichung” \[ t^{n-1}\dfrac{d^ny^s}{dt^n}=\prod_{v=0}^{p-1}\biggl(t\dfrac{d}{dt}+\dfrac{s-nv}{pn}\biggr) \prod^{q-1}_{v=0}\biggl(t\dfrac{d}{dt}-\dfrac{s-nv}{qn}\biggr)y^s, \] die ein Spezialfall der von Goursat so genannten “verallgemeinerten hypergeometrischen Differentialgleichung” ist, so daß \(y^s\) auf verschiedene Weisen mit Hilfe verallgemeinerter hypergeometrischer Funktionen ausdrückbar ist.
2. Führt man die entsprechenden Betrachtungen bei der Gleichung \[ y^n-y+x=0 \] durch, auf welche sich die Auflösung der trinomischen Gleichung ebenfalls zurückführen läßt, so ergeben sich für \(s = 1\) Resultate von Birkeland (C. R. 171, 778; F. d. M. 47, 331 (JFM 47.0331.*), 1919-20).
3. Zum Schluß die Andeutung der Gedankengänge im Falle der allgemeinen Gleichung \(n\)-ten Grades. (IV 4, IV 9.)
Reviewer: Neder, Prof. (Münster i. W.)
References:
| [1] | R. Birkeland,Résolution de l’équation algébrique générale par des fonctions hypergéométriques de plusieurs variables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. CLXXI (2nd semestre 1920), pp. 1370–1372; t. CLXXII (1er semestre 1921), pp. 309–311]. |
| [2] | R. Birkeland,Sur la convergence des dévéloppements qui expriment les racines de l’équation algébrique par une somme de fonctions hypergéométriques de plusieurs variables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. CLXX1I (1er semestre 1921), pp. 1155–1158]. |
| [3] | P. Appell,Sur les fonction hypergéométriques de deux variables [Journal de mathématiques pures et appliquées, série 3, t. VIII (1880), pp. 173–216]. |
| [4] | G. Belardinelli,Sulla risoluzione delle equazioni algebriche mediante le funzioni ipergeometriche [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, série 5a, vol. XXX, 2semestre 1921, pp. 208–211]. · JFM 48.1138.01 |
| [5] | A. Capelli,Sulla risoluzione generale delle equazioni per mezzo di sviluppi in serie [Rendiconti della R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, serie 3a vol. XIII (1907), pp. 192–199, 289–294, 342–347]. · JFM 38.0120.02 |
| [6] | G. Belardinelli,Sulla risoluzione delle equazioni algebriche mediante sviluppi in serie [Annali di matematica pura ed applicata, serie 3a t. XXIX (1920), pp. 251–270]. · JFM 48.1229.02 |
| [7] | HJ. Mellin,Résolution de l’équation algébrique générale à l’aide de la fonction gamma [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 172 (1er semestre 1921), pp. 658–661]. |
| [8] | HJ. Mellin,Ein allgemeiner Satz über algebraische Gleichungen [Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ, série A., torn. VII, N8 (1915), pp. 1–44]. |
| [9] | R. Birkeland,Résolution de l’équation algébrique trinome par des fonctions hypergéométriques supérieures [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 171 (2nd semestre 1920), pp. 778–781]. |
| [10] | Hj. Mellin,Zur Theorie der trinomischen Gleichungen. [Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ, série A., t. VII, n7 (1915), pp. 1–32]. |
| [11] | E. Goursat,Mémoire sur les fonctions hypergéométriques d’ordre supérieur [Annales scientifique de l’École Normale Supérieure, serie 2a, t. XII (1883), pp. 261–286, pp. 395–430]. |
| [12] | Loc. cit. 9), pag. 22. |
| [13] | S. Pincherle,Sull’inversione degli integrali definiti [Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), serie 3a, t. XV (1908), pp. 5–43]. |
| [14] | R. Harley,On the Theory of the Trasceniental Solution of Algebraic Equations [Quarterly Journal of pure and applied Mathematics, vol. V (1862), pp. 152–170]. |
| [15] | W. Heymann,Stadien über die Transformation und Integration der Differential und Differenzen-gleichungen (Leipzig, Foch, 1891). · Zbl 0009.14102 |
| [16] | I. Kampé de Fériet,a) Sur les systèmes d’équations aux dérivées partielles des fonctions hypergéométriques les plus générales [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie de sciences, t. 172 (1er semestre 1921), pp. 1634–1636]; |
| [17] | I. Kampé de Fériet Sur certaines systèmes associés d’équations aux differences finies et d’équations aux dérivées partielles linéaires [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 173 (2nd semestre 1921), pp. 285–288]; |
| [18] | I. Kampé de Fériet Les fonctions hypergéométriques d’ordre supérieur à deux variables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 173 (2nd semestre 1921), pp. 401–404]; |
| [19] | I. Kampé de Fériet Quelques propriétés des fonctions hypergéométriques d’ordre supérieur à deux variables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 173 (2nd semestre 1921), pp. 489–491]; |
| [20] | Sur l’intégrale générale des systèmes d’équations aux derivées partielles des fonctions hypergéométriques d’ordre supérieur [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 173 (2nd semestre), pp. 900–902], e vedasi ancheAppell, memoria citata 2). |
| [21] | L. Pochhammer,Ueber hypergeometrische Functionen n ter Ordnung [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. 71 (1870), pp. 316–352]. |
| [22] | Loc. cit. 5), pag. 262. |
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