Die projektive und konforme Geometrie werden durch Abstraktion aus der affinen und metrischen gewonnen. Charakteristisch für die konforme Beschaffenheit eines metrischen Raumes ist nicht die quadratische Fundamentalform, sondern der durch ihr Nullsetzen definierte infinitesimale Kegel der Nullrichtungen. Charakteristisch für die projektive Beschaffenheit eines affin zusammenhängenden Raumes ist die Parallelverschiebung, welche eine willkürliche Richtung (nicht Vektor) an einer beliebigen Stelle \(P\) erfährt, wenn \(P\) in dieser Richtung selber infinitesimal verschoben wird. Die Tatsache, daß man durch Lichtsignale und kräftefrei sich bewegende Massenpunkte die Welt vermessen kann, kommt in dem Satz zum Ausdruck: Projektive und konforme Beschaffenheit eines metrischen Raumes bestimmen dessen Metrik eindeutig. Aus dem Riemannschen Krümmungstensor gewinnt man leicht eine Projektiv- und eine konforme Krümmung. Im Anschluß an J. A. Schouten, der diesen Satz für die Konformkrümmung bewies, wird gezeigt, daß das Verschwinden der Projektiv- bezw. Konformkrümmung (außer für die niedersten Dimensionszahlen) nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend dafür ist, daß ein Raum projektiv- oder konform-eben ist. Darauf werden außer den Ebenen noch die Kugelräume untersucht und ein neuer Beweis dafür mitgeteilt, daß die Kugeln die einzigen metrischen Räume skalarer Krümmung sind. Die einzigen projektiv-ebenen metrischen Räume sind ebenfalls die Kugeln. (VII.)