Verf. beweist eine Reihe wichtiger Sätze, die sich zunächst nur auf die Theorie des Stieltjesschen Momentenproblems beziehen, aber auch für die Wahrscheinlichkeitsrechnung von Bedeutung sind.
Verf. nennt im Anschlußan R. v. Mises die für alle reellen Werte von \(x\) definierte Funktion \(f(x)\) eine Verteilungsfunktion, wenn
erstens: \(f (x)\) nirgends abnimmt und von rechts stetig ist (von links sind Unstetigkeiten zugelassen),
zweitens: \(\lim_{x \to -\infty} f(x)=0, \lim_{x \to +\infty} f(x)=1.\)
Verf. betrachtet nun Folgen von Verteilungsfunktionen \(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x),\dots\) und beweist die beiden Sätze:
I. Es existiere eine positive Größe \(a,\) derart, daßdie Stieltjesschen Integrale \(\int_{-\infty}^{ +\infty} e^{ut}d f_n(t)\) für jedes \(u\) im Intervall \(- a \leqq u \leqq + a\) konvergieren. Im gleichen Intervall möge der Grenzwert \[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{ +\infty} e^{ut}df_n(t) =\int_{-\infty}^{ +\infty} e^{ut}df (t) \] existieren, wo \(f(t)\) eine stetige Verteilungsfunktion bedeutet.
Dann ist gleichmäßig für alle Werte von \(x\) \[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f (x). \]
II. Es sei \(f(x)\) eine stetige Verteilungsfunktion, deren Momente \[ \int_{-\infty}^{ +\infty} t^mdf(t) = c_m \;(m = 0,1, 2, \dots) \] der Bedingung \[ \lim\sup_{m \to \infty} \frac{\root 2m \of {c_{2m}}}{m} = \text{ endlicher Zahl} \] genügen. Ist dann für alle ganzzahligen nicht negativen \(\mu\) \[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{ +\infty} t^\mu df_n(t) =c_\mu, \] so ist gleichmäßig für alle Werte von \(x\) \[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x). \] (IV 4.)