Über den ersten Teil dieser Abhandlung siehe den Bericht in [Trans. Am. Math. Soc. 16, 155–198 (1915; JFM 45.0234.01); Proc. Natl. Acad. Sci. 1, 245–248 (1915; JFM 45.0234.02)]. Dort handelte es sich um die Invarianten einer Reihe \(P_n^k\) von \(n\) Punkten in einem Raume \(S_k\) gegenüber der Gruppe der Permutationen der Punkte. Die Punktreihe \(P_n^k\) wurde abgebildet auf einen Punkt \(P\) eines Raumes \(\varSigma_{k(n-k-2)}\), in dem die Permutationsgruppe als eine Cremona-Gruppe \(G_{n!}\) erschien.
Jetzt werden gewisse Cremona-Transformationen \(C\) in \(S_k\) untersucht und ihre Wirkung auf \(P_n^k\). Diese als regulär bezeichneten Transformationen \(C\) sind von spezifischem Charakter. Sie sind im wesentlichen allein durch ihre Fundamentalpunkte bestimmt und verhalten sich durchaus wie die ternären Cremona-Transformationen. Diese \(C\) bilden die “reguläre Cremona-Gruppe im \(S_k\)”. Wird eine Reihe von Fundamentalpunkten einer regulären \(C\) durch \(P_n^k\) ersetzt, so entsteht eine neue Reihe \(P_n^{`k}\), die “kongruent zu \(P_n^k\) gegenüber \(C\)” heißt. Die Gesamtheit dieser neuen Reihen wird im \(\varSigma_{k(n-k-2)}\) abgebildet durch ein Aggregat von Punkten \(P'\), die gegenüber der erweiterten Gruppe \(G_{n, k}\) eine konjugierte Reihe bilden. Diese \(G_{n, k}\) in \(\varSigma\) enthält \(G_{n!}\) als Untergruppe, ist aber im allgemeinen eine unendliche und diskontinuierliche Gruppe, die in der vorliegenden Arbeit ausführlich untersucht wird. Weiter wird eine Gruppe \(g_{n, k}\) linearer Transformationen eingeführt, die zur \(G_{n, k}\) isomorph ist. Diese neue Gruppe fördert weitere Eigenschaften von \(G_{n, k}\) und der \(C\) zutage. So lassen sich alle Typen von \(C\) mit einer einzigen symmetrischen Reihe von Fundamentalpunkten bestimmen; einige dieser Typen erweisen sich als neu. Endlich wird noch eine andere Gruppe \(e_{n, k}\) linearer Transformationen eingeführt, ebenfalls isomorph zur \(G_{n, k}\), die die Diskussion der unendlichen Gruppen \(G_{9, 2}\), \(G_{8, 3}\) und \(G_{9, 5}\) gestattet.
Maßgebend ist die enge Verbindung zwischen den assoziierten Reihen \(P_n^k\) und \(Q_n^{n-k-2}\), wie sie in der ersten Abhandlung entwickelt wurde; deren erweitere Gruppen sind identisch, da ihre Gruppen \(g\) und \(e\) gegenüber linearen Transformationen konjugiert sind. Zunächst werden die \(P_n^2\) eingehender untersucht; die bezüglichen Transformationen \(C\) im \(S_2\) sind gut bekannt, und man begegnet allen endlichen Typen von \(G_{n, k}\). Auch die erweiterte Gruppe \(G_{n, 2}\) läßt sich gut verfolgen; ihre endlichen Fälle führen auf wichtige bekannte Gruppen zurück. Was die Invarianten der \(G_{n, k}\) anlangt, so beschränkt sich der Verf. auf zwei Fälle, die \(G_{9, 2}\) als Beispiel des unendlichen Typus, und die \(G_{7, 2}\) als Beispiel des endlichen.
Die Anwendungen der \(G_{n, k}\) auf die Theorie der Gleichungen, analog denen der \(G_{n!}\) in der ersten Abhandlung, sind der dritten Abhandlung vorbehalten. Die Reihen \(P_n^k\) von \(n\) Punkten in einem \(S\) wurden auf die Punkte \(P\) eines \(\varSigma_{k(n-k-2)}\) abgebildet, und der Permutationsgruppe der \(P_n^k\) untsprach eine Cremona-Gruppe \(G_{n!}\). Für \(P_5^2\) und \(P_6^2\) lieferten diese Gruppen einen algebraischen Untergrund für die Lösung der Gleichungen fünften und sechsten Grades. Weiterhin erschien die \(G_{n!}\) als Untergruppe einer wichtigeren Gruppe \(G_{n, k}\) im \(\varSigma_{k(n-k-2)}\). So war die der \(P_6^2\) zugeordnete \(G_{6!}\) im \(\varSigma_{4}\) eine Untergruppe einer Fläche dritter Ordnung \(F_3\) isomorph ist.
Umgekehrt wird jetzt gezeigt, daß die Geraden einer gegebenen \(F_3\) rational durch Terme einer Lösung des Formenproblems der \(G_{6, 2}\) bestimmt werden können. Diese Lösung kann aber auch erhalten werden in Termen der Lösung eines Formenproblems, das in Verbindung mit den Thetafunktionen steht: Es ist zu beachten, daß diese Lösung völlig verschieden ist von der bekannten, von F. Klein herrührenden. So wird hier keinerlei Gebrauch gemacht von einer Gleichung 27. Grades oder einer andern Resolvente. Die Untersuchung bewegt sich lediglich im Gebiet der irrationalen In- und Kovarianten der Fläche, nach Adjunktion der 27 Geraden las Komitanten. Während die Kleinsche Methode auf der Existenz der Maschke-Gruppe und der aus ihr abgeleiteten von Geradentransformationen beruht, führt hier die \(G_{6, 2}\) direkt zur Burkhardt-Gruppe. Dadurch wird eine Separation der Wurzeln der zu den Thetafunktionen gehörenden Gleichung 6. Grades überflüssig.
Durch kovariante Darstellung der normalen hyperelliptischen Fläche wird eine Reihe bemerkenswerter geometrischer Eigenschaften der zugehörigen Kolleneationsgruppen aufgedeckt, und auf dieser beruht dann die Lösung ihres Formenproblems. Der Gang im einzelnen mag kurz charakterisiert werden. Als Grundlage dient eine sorgfältige Diskussion der \(G_{6, 2}\), ihrer Erzeugenden, ihrer Invarianten und ihres Formenproblems. Die Adjunktion einer Lösung dieses Formenproblems fühft zur Bestimmung der Geraden einer gegebenen \(F_3\). Für die \(F_3\) genügt es, das einfachste lineare System irrationaler Invarianten aufzustellen. Den Vertauschungen der Geraden entsprechen für die Invarianten die Operationen einer Korrepationsgruppe, die sich auf der Burkhardtschen Kollineationsgruppe aufbaut. Die Lösung des Formenproblems der \(G_{6, 2}\) geschieht durch Adjunktion einer Lösung des Burkhardtschen. Damit läßt sich auch das allgemeine Burkhardtsche Formenproblem lösen. (II 5.)