Es werden die Funktionen \(w=f(z)\) untersucht, die eine volle Kreisscheibe \(K_z\) der \(z\)-Ebene konform abbilden auf schlichte Bereiche, die ganz einer Kreisscheibe \(K_w\) der Bildebene angehören. Die aus der Forderung der Schlichtheit sich ergebenden Schranken für \(f(z)\) (vgl. die drei vorstehend besprochenen Arbeiten) erfahren durch die hinzutretende Forderung der Beschränktheit des Bildbereichs eine Verschärfung. Die Überlegungen stützen sich auf den Faber Bieberbachschen Flächensatz (vgl. die vorst. Referate), für den eine neue die Hurwitzsche Flächenformel benützende Herleitung gegeben wird. Dadurch, daßin \(K_z\) und \(K_w\) die kreisgeometrische Maßbestimmung eingeführt wird, lassen sich die Formeln in übersichtlicher Weise schreiben. Die Hauptresultate sind in den folgenden Ungleichungen enthalten: Es sei \(\sigma_z\) der nicht- euklidische Bogenparameter längs einer Kurve in \(K_z,\sigma_w\) der Bogen auf der Bildkurve; dann ist \[ (1)\quad -2\leqq\frac{\frac{d}{d\sigma_z}\left(\frac{d\sigma_w}{d\sigma_z} \right)}{ \frac{d\sigma_w}{d\sigma_z}\left(1- \frac{d\sigma_w}{d\sigma_z}\right)}\leqq 2. \] Durch Integration von (1) ergibt sich \[ (2)\quad e^{-2\sigma_z}\leqq\frac{\tau_z}{1- \tau_z}:\frac{\tau_{z_0}}{1-\tau_{z_0}}\leqq e^{2\sigma_z}. \] Darin bedeutet \(z_0\) den Anfangspunkt der Kurve, für \(\tau\) ist der “nicht-euklidische Abbildungsmodul” \(\tau=\frac{d\sigma_w}{d\sigma_z}\) einzusetzen.
Nimmt man speziell als Integrationsweg den \(z_0\) und \(z\) verbindenden Orthobogen des Maßkreises, so erhält man die bestmögliche Abschätzung (“Verzerrungssatz”) \[ (2')\quad e^{-2[z_0z]}\leqq\frac{\tau_z}{1- \tau_z}:\frac{\tau_{z_0}}{1-\tau_{z_0}}\leqq e^{2[z_0z]}. \] Hier ist \([z_0z]\) die nichteuklidische Distanz von \(z_0\) und \(z\). Durch Integration von (2) ergibt sich \[ (3)\quad\frac{1}{1-\tau_{z_0}+\tau_{z_0}e^{-2\sigma_z}}\leqq e^{2\sigma_w}\leqq 1-\tau_{z_0}+\tau_{z_0}e^{2\sigma_z}. \] Aus (3) endlich erhält man für die Minimaldistanz \(\Delta\) des Randes des Bildbereichs vom Bildpunkt \(w\) eines beliebigen Punktes \(z\) die Ungleichung \[ (4)\quad e^{2\Delta}\geqq \frac{1}{1-\tau_{z_0}}\cdot \] Alle angegebenen Schranken werden bei den Abbildungen auf Bereiche erreicht, die aus der Kreisscheibe \(K_w\) durch Aufschlitzen derselben längs eines von der Peripherie ausgehenden Orthobogens entstehen und nur bei diesen.