“In den letzten Jahren habe ich, zum Teil zusammen mit meinem Freunde Grossmann, eine Verallgemeinerung der Relativitätstheorie ausgearbeitet. Also heuristische Hilfsmittel sind bei jenen Untersuchungen in bunter Mischung physikalische und mathematische Forderungen verwendet, so daßes nicht leicht ist, an Hand jener Arbeiten die Theorie vom formal mathematischem Standpunkte aus zu übersehen und zu charakterisieren. Diese Lücke habe ich durch die vorliegende Arbeit in erster Linie ausfüllen wollen. Es gelang insbesondere, die Gleichungen des Gravitationsfeldes auf einem rein kovariantentheoretischen Wege zu gewinnen (Abteilung D). Auch suchte ich einfache Ableitungen für die Grundgesetze des absoluten Differentialkalküls zu geben, die zum Teil neu sein dürften (Abteilung B), um dem Leser ein vollständiges Erfassen der Theorie ohne die Lektüre anderer, rein mathematischer Abhandlungen zu ermöglichen. Um die mathematischen Methoden zu illustrieren, habe ich die (Eulerschen) Gleichungen der Hydrodynamik und die Feldgleichungen der Elektrodynamik bewegter Körper abgeleitet (Abteilung C). Im Abschnitt E ist gezeigt, daßNewtons Gravitationstheorie sich aus der allgemeinen Theorie als Näherung ergibt; auch sind dort die elementarsten, für die vorliegende Theorie charakteristischen Eigenschaften des Newtonschen (statischen) Gravitationsfeldes (Lichtstrahlenkrümmung, Verschiebung der Spektrallinien) abgeleitet.”
A. Grundgedanke der Theorie. \(\S\) 1. Einleitende Überlegungen. \(\S\) 2. Das Gravitationsfeld. B. Aus der Theorie der Kovarianten. \(\S\) 3. Vierervektoren. \(\S\) 4. Tensoren zweiten und höheren Ranges. \(\S\) 5. Multiplikation der Tensoren, \(\S\) 6. Über einige den Fundamentaltensor der \(g_{\mu \nu}\) betreffende Beziehungen. \(\S\) 7. Geodätische Linie bzw. Gleichungen der Punktbewegung. \(\S\) 8. Bildung von Tensoren durch Differentiation. C. Gleichungen der physikalischen Vorgänge bei gegebenem Gravitationsfelde. \(\S\) 9. Impuls-Energiesatz für die “materiellen Vorgänge”. \(\S\) 10. Bewegungsgleichungen kontinuierlich verteilte Massen. \(\S\) 11. Die elektromagnetischen Gleichungen. D. Die Differentialgesetze des Gravitationsfeldes. \(\S\) 12. Beweis von der Notwendigkeit einer Einschränkung der Koordinatenwahl. \(\S\) 13. Kovarianz bezüglich linearer Transformationen. Angepaßte Koordinatensysteme. \(\S\) 14. Der \(H\)-Tensor. \(\S\) 15. Ableitung der Feldgleichungen. \(\S\) 16. Kritische Bemerkungen über die Grundlage der Theorie. Einiges über den physikalischen Inhalt der entwickelten allgemeinen Gesetze. \(\S\) 17. Aufstellung von Näherungsgleichungen nach verschiedenen Gesichtspunkten.
Statt den Versuch zu machen, die Mannigfaltigkeit der behandelten Dinge näher zu kennzeichnen, setzen wir folgende Stelle aus dem Schlußvom \(\S\) 16 her.
“Vor Maxwell waren die Naturgesetze in räumlicher Beziehung im Prinzip Integralgesetze; damit soll ausgedrückt werden, daßin den Elementargesetzen die Abstände zwischen endlich voneinander entfernten Punkten auftraten. Dieser Naturbeschreibung liegt die euklidische Geometrie zugrunde. Letztere bedeutet zunächst nichts als den Inbegriff der Folgerungen aus den geometrischen Axiomen; sie hat insofern keinen physikalischen Inhalt. Die Geometrie wird aber dadurch zu einer physikalischen Wissenschaft, daßman die Bestimmung hinzufügt, zwei Punkte eines “starren” Körpers sollen einen bestimmten, von der Lage des Körpers unabhängigen Abstand realisieren; die Sätze der durch diese Festsetzung ergänzten Geometrie sind (im physikalischen Sinne) entweder zutreffend oder unzutreffend. Die Geometrie in diesem erweiterten Sinne ist es, welche der Physik zugrunde liegt. Die Sätze der Geometrie sind von diesem Gesichtspunkte aus als physikalische Integralgesetze anzusehen, indem sie von den Abständen endlich entfernter Punkte handeln. Durch und seit Maxwell hat die Physik eine durchgreifende Umwälzung erfahren, indem sich allmählich die Forderung durchsetzte, daßin den Elementargesetzen Abstände endlich entfernter Punkte nicht mehr auftreten dürften, d. h. die “Fernwirkungstheorien” werden durch “Nahewirkungstheorien” ersetzt. Bei diesem Prozeßvergaßman, daßauch die euklidische Geometrie – wie sie in der Physik verwendet wird – aus physikalischen Sätzen besteht. die den Integralgesetzen der Newtonschen Punktmechanik vom physikalischen Gesichtspunkte aus durchaus an die Seite zu stellen sind. Dies bedeutet nach meiner Ansicht eine Inkonsequenz, von der wir uns befreien müssen.”