In \(\S\) 1 dieser für die Grundlegung der Topologie wichtigen Arbeit, neben die die Note von J. Hadamard in dem Buche von J. Tannery (Introduction à la théorie des fonctions, Tome II, Paris 1909) zu stellen ist, wird zunächst der Begriff der Mannigfaltigkeit auseinandergesetzt. Eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit wird in bestimmter Weise aufgebaut aus “Elementen”, d. h. aus den eineindeutigen und stetigen Bildern \(n\)-dimensionaler Simplexe, und die Mannigfaltigkeit wird dadurch “gemessen”, daßjedem ihrer Punkte eindeutig \(n + 1\) homogene Koordinaten zugeordnet werden. Der Begriff der “Indikatrix” eines Elements führt zur Definition der einseitigen und zweiseitigen Mannigfaltigkeiten. Für die eindeutige und stetige Abbildung zweier Mannigfaltigkeiten \(\mu\) und \(\mu'\) wird der Abbildungsgrad erklärt. Es wird ein Satz bewiesen: Wenn eine zweiseitige, geschlossene gemessene \(n\)- dimensionale Mannigfaltigkeit \(\mu\) auf eine gemessene \(n\)- dimensionale Mannigfaltigkeit \(\mu'\) eindeutig und stetig abgebildet wird, so existiert eine bei stetiger Änderung der Abbildung sich nicht ändernde ganze Zahl \(c\) mit der Eigenschaft, daßdie Bildmenge von \(\mu\) jedes Teilgebiet von \(\mu'\) im ganzen \(c\)-mal positiv überdeckt. Ist \(\mu'\) einseitig sehr offen, so ist \(c = 0\).
Als Anwendung werden in \(\S\) 2 die stetigen Vektorfelder auf einer \(n\)-dimensionalen Kugel studiert. Es ergibt sich: Ein stetiges Vektorfeld auf einer Kugel von gerader Dimensionenzahl hat wenigstens einen singulären Punkt. Und: Jede eindeutige und stetige Transformation einer \(n\)-dimensionalen Kugel in sich hat, falls sie keinen Fixpunkt hat, den Grad \((-1)^{n+1}\).