Es wird als Hauptaufgabe einer “modernen Theorie der Gammafunktion” betrachtet, “die Integration von allen hypergeometrischen Differentialgleichungen mit Hülfe der Gammafunktion” durchzuführen. Ausgehend von einer den Elementen der Funktionentheorie angehörenden Definition, wird eine einfache Einführung in der Theorie der Gammafunktion gegeben. Nach der nunmehr gegebenen Definition der Gammafunktion durch die Funktionalgleichung \[ F(z + 1 )=\pm R (z) F (z) \] (\(R(z)\) rationale Funktion) gehören alle rationalen und trigonometrischen Funktionen zu den Gammafunktionen. Im weiteren wird der Zusammenhang mit der Exponentialfunktion gegeben. Die bis dahin aufgestellten Theoreme werden erweitert, und es ergibt sich, daß \[ \Phi(x)=\frac{1}{2\pi i} \int^{a+i\infty}_{a-i\infty} F(z)x^{-z}dz \] hypergeometrische Funktionen sind, und das zwischen ihnen und \[ F(z)=\int^{\infty}_0 \Phi(x)x^{z-1}dx \] ausgedrückte Reziprozitätsgesetz wird allgemein entwickelt. Dann endlich wird die vollständige Integration der hypergeometrischen Differentialgleichung mit Hülfe der Gammafunktion durchgeführt.