Diese zweite Mitteilung enthält eine Fortsetzung der Untersuchungen, über die F. d. M. 38, 431, 1907 (JFM 38.0431.01), berichtet worden ist, und zwar handelt es sich darum, genauer festzustellen, welche Transformationen \(y\) erfährt, wenn \(x\) einen Grenzpunkt oder eine Grenzlinie von \(A\) umkreist; die Grenzlinien werden als reguläre analytische Kurvenzüge vorausgesetzt. Von der aufzustellenden Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) wird gefordert, daß \(y\) nicht nur im Innern, sondern auch an den Randlinien von \(A\) eine reguläre Funktion in dem Sinne von Schottky ist, und daß in der Nähe eines jeden Grenzpunktes entweder \(y\) selbst oder eine reelle lineare Funktion von \(y\) sich darstellen läßt in der Form \(-i\text{\,ln\,}(E),\) wobei \(E\) eine Funktion von \(x\) bedeutet, die an der betrachteten Grenzstelle regulär ist und in ihr von der ersten Ordnung verschwindet. Hieraus folgt, daß bei der Umkreisung des Grenzpunktes \(a\) jeder Zweig von \(y\) eine lineare Transformation erfährt, deren sich selbst entsprechende Punkte zusammenfallen.
In dem besonderen Falle, wo nur Grenzpunkte vorhanden sind, ist die eindeutige Funktion \(x = \psi(y)\) nicht über die Grenze der positiven Halbebene fortsetzbar. Wird dieser spezielle Fall beiseite gelassen, so ist die Funktion \(x = \psi(y)\) in der positiven Halbebene regulär und eindeutig; sie läßt sich durch gewisse Strecken hindurch in die negative Halbebene fortsetzen. In dieser ist aber \(\psi(y)\) nicht eindeutig, und noch viel weniger der Zweig, den wir erhalten, wenn wir durch irgend eine andere der definierten Strecken in die positive Halbebene zurückkehren. Dagegen sind die charakteristischen Funktionen der Fläche \(A,\) angesehen als abhängig von \(y,\) in der ganzen \(y\)-Ebene eindeutig und regulär mit Ausnahme gewisser Punkte auf der reellen Achse.
Die charakteristischen Funktionen des Gebietes \(\mathfrak A,\) dessen Begrenzung ausschließlich aus den Randlinien von \(A\) besteht, lassen sich definieren als die im Innern und an der Grenze von \(\mathfrak A\) eindeutigen regulären Funktionen von \(x\), die an der Grenze reelle Werte haben. Sie sind unter einander durch algebraische Gleichungen verbunden, und zwar lassen sich auf unendlich viele Arten zwei unter ihnen auswählen \(s = f (x)\), \(t = g(x),\) durch die alle anderen rational mit reellen Koeffizienten ausgedrückt werden können. Den Randlinien von \(\mathfrak A\) entsprechen punktweise eindeutig ebenso viele reelle Kurven des Gebildes \((s, t).\) Dieses zerfällt symmetrisch in zwei konjugierte Hälften, die durch diese reellen Kurven von einander getrennt sind; diejenige Hälfte, die dem Gebiete \(\mathfrak A\) entspricht, heiße \(\varDelta\). Durch die Gleichungen \(s = f (x)\), \(t = g(x)\) wird eine eindeutige reguläre Beziehung \((s, t; x)\) zwischen \(\varDelta\) und \(\mathfrak A\) hergestellt, und zwar ist sie eindeutig-regulär mit Einschlußder Grenzen.
Werden aus dem Bereiche \(\varDelta\) die Punkte \(\alpha\) abgesondert, die den Grenzpunkten von \(A\) entsprechen, so ergibt sich ein Kontinuum \(D,\) das genau so viele Grenzpunkte und Grenzlinien besitzt wie \(A,\) und \((s, t; x)\) ist eine vollständig reguläre eindeutige Beziehung zwischen \(A\) und \(D\) mit Einschlußder Grenzpunkte und Grenzlinien. Durch Hinzufügung der Beziehung \((x, y)\) entspringt hieraus eine reguläre Beziehung \((s, t; y)\) zwischen \(D\) und der positiven Halbebene, die analytisch fortgesetzt werden kann. Dem entsprechend kann \((s, t; y)\) aufgefaßt werden als eine gegenseitig reguläre Beziehung zwischen dem ganzen Gebilde \((s, t),\) von dem nur die Punkte \(\alpha\) und die dazu konjugierten Punkte \(\alpha'\) ausgeschlossen sind, und der ganzen \(y\)-Ebene, von der allerdings die unendlich vielen singulären Punkte auf der reellen Achse auszuschließen sind. Hierbei sind \(s\) und \(t\) eindeutige Funktionen von \(y\) in der ganzen Ebene; \(y\) ist eine unendlich vieldeutige Funktion von \(s, t,\) die nur singulär wird in den Punktepaaren \(\alpha, \alpha',\) und zwar so, daß eich eine reelle lineare Funktion von \(y\) in der Form \(- i\) ln\((E)\) darstellen läßt, wo \(E\) eine an der betrachteten Stelle reguläre Funktion von \((s, t)\) ist, die in diesem Punkte von der ersten Ordnung verschwindet.
Beschreibt der Punkt \((s, t)\) eine geschlossene Linie, die innerhalb \(D\) verläuft, so entspricht dieser eine geschlossene Linie in \(A\), und \(y\) erfährt eine Transformation \(y' = \chi(y),\) die so dargestellt werden kann: \[ \frac{y' - \eta}{y' -\eta'} = q\;\frac{y-\eta}{y-\eta'}; \] \(\eta\) und \(\eta'\) sind die sich selbst entsprechenden Punkte der Transformation, \(q\) bezeichnet eine positive Größe. Beschreibt aber \((s, t)\) einen Weg in \(D,\) der von einer jener reellen Kurven zu einer anderen führt, und kehrt dann auf dem symmetrisch entsprechenden Wege zu dem Anfangspunkte zurück, so nimmt \(y\) den anfänglichen Wert wieder an; mithin erfährt \(a\) überhaupt keine anderen Transformationen als die der bereits definierten Gruppe.
Wird ferner \[ \frac {dy}{dt} = \frac 1{u^2} \] gesetzt, so genügt \(u\) der linearen Differentialgleichung \[ \frac{d^2 u}{dt^2}+pu = 0, \] in der \(p\) eine reelle rationale Funktion von \((s, t)\) bedeutet. Singuläre Punkte dieser Differentialgleichung sind die Punkte \(\alpha\) und \(\alpha'\) sowie diejenigen Punkte, in denen das Differential \(dt\) verschwindet oder unendlich wird. Die Funktionen \(s = F(y)\) und \(t = G(y),\) in die \(f (x)\) und \(g(x)\) übergehen, wenn man die Veränderliche \(y\) einführt, sind eindeutige automorphe Funktionen. Man kann sie, wenigstens in dem Hauptfall, wo keine Grenzpunkte vorhanden sind, durch Produkte linearer Funktionen von \(y\) darstellen, falls man die linearen Substitutionen als gegeben annimmt. Andererseits sind die charakteristischen Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) jedenfalls durch das Dirichletsche Prinzip bestimmt. Durch die beiden Gleichungen \(f (x) = F(y)\) und \(g(x) = G(y)\) wird die Beziehung \((x, y)\) definiert; es werden aber damit zugleich, da man zwei Gleichungen hat, auch die Koeffizienten der linearen Substitutionen festgelegt.
Den Schlußder Abhandlung bilden Anwendungen auf die bereits in der ersten Mitteilung betrachteten besonderen Fälle, daß entweder \(A\) die ganze Ebene bedeutet, mit Ausnahme einer endlichen Anzahl sich nicht schneidender Strecken, die sich such auf Punkte reduzieren dürfen, oder die ganze Ebene mit Ausnahme dreier Kreisflächen; \(B\) ist immer die positive Halbebene. Bei dem Referate in dem vorigen Bande des Jahrbuchs (s. S. 432, JFM 38.0432.01) war in dem ersten Fall versehentlich vor “schneidenden Strecken” das Wort “nicht” ausgefallen.