Über das Problem der Bewegung von vier Massenpunkten unter dem Einflusse von inneren Kräften. (German) JFM 38.0725.03
Das Problem der Bewegung eines materiellen Punktsystems von \(n\) Freiheitsgraden kann für den Fall, daßdie Sätze von der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes und der Flächenräume in Kraft sind, auf die Integration von \(2(n-6)\) gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und auf Quadraturen reduziert werden. Daher läßt sich das imTitel bezeichnete Problem auf die Integration von 12 Differentialgleichungen erster Ordnung und auf Quadraturen zurückführen.
Die vorliegende Arbeit zerfällt in drei Teile. In Kap. I werden die zwölf Gleichungen aufgestellt, nach deren Integration die Aufgabe durch Quadraturen gelöst wird. Eine Anwendung der allgemeinen Formeln wird auf den Fall gemacht, daßdie Massen dreier der Punkte \(M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}\) einander gleich sind: \(m_{1}=m_{2}=m_{3}\). Dann kann das Punktsystem so in Bewegung gebracht werden, daßdie Punkte \(M_{1},M_{2},M_{3}\) in jedem Momente der Bewegung die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Der vierte Punkt bewegt sich längs der Senkrechten zur Dreiecksebene durch den Schwerpunkt des Dreiecks. Die Dreiecksebene bleibt der invariablen Ebene parallel, und das Dreieck dreht sich in seiner Ebene um seinen Schwerpunkt mit einer Winkelgeschwindigkeit, die dem Quadrate der augenblicklichen Entfernung der Ecke des Dreiecks vom Rotationszentrum umgekehrt proportional ist.
In Kap. II wird der Fall diskutiert, wenn die drei Konstanten der Flächenintegrale Null sind. Das allgemeine Problem zerfällt dann in zwei selbständige, nacheinander zu lösende Probleme. Zunächst wird die Deformation der Pyramide untersucht, in deren Ecken die vier Massenpunkte liegen. Zur Lösung dieser Aufgabe müssen fünf Differentialgleichungen zweiter Ordnung integriert werden, welche fünf Kantenlängen jener Pyramide durch die sechste bestimmen. Danach wird die Bewegung dieser Pyramide im Raume gesucht; diese Aufgabe führt zu einer Riccatischen Differentialgleichung. Die Formeln dieses Kapitels werden auf den Fall angewandt, bei welchem die Massen der Punkte einander gleich sind. Das Punktsystem kann dann so in Bewegung gesetzt werden, daßje zwei Gegenkanten des Tetraeders \(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}\) einander gleich bleiben. Sind außerdem die Dreiecke, welche die Seiten des Tetraeders bilden, gleichschenklig, so ist das Problem durch Quadraturen lösbar.
Endlich wird in Kap. III der Fall untersucht, bei welchem die vier Massenpunkte in jedem Momente der Bewegung in einer Ebene liegen. Diese Aufgabe hängt von der Integration eines Systems von fünf Differentialgleichungen zweiter Ordnung ab. Sind die Massen zweier Punkte \(M_{1}\) und \(M_{2}\) einander gleich, so kann das Punktsystem so in Bewegung gebracht werden, daßdie Gerade \(M_{1}M_{2}\) von der Geraden \(M_{3}M_{4}\) senkrecht geschnitten und gehälftet wird. Die Ebene der Punkte dreht sich um \(M_{1}M_{2}\) mit einer Winkelgeschwindigkeit, die dem Quadrate der Entfernung \(M_{1}M_{2}\) umgekehrt proportional ist.
Die vorliegende Arbeit zerfällt in drei Teile. In Kap. I werden die zwölf Gleichungen aufgestellt, nach deren Integration die Aufgabe durch Quadraturen gelöst wird. Eine Anwendung der allgemeinen Formeln wird auf den Fall gemacht, daßdie Massen dreier der Punkte \(M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}\) einander gleich sind: \(m_{1}=m_{2}=m_{3}\). Dann kann das Punktsystem so in Bewegung gebracht werden, daßdie Punkte \(M_{1},M_{2},M_{3}\) in jedem Momente der Bewegung die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Der vierte Punkt bewegt sich längs der Senkrechten zur Dreiecksebene durch den Schwerpunkt des Dreiecks. Die Dreiecksebene bleibt der invariablen Ebene parallel, und das Dreieck dreht sich in seiner Ebene um seinen Schwerpunkt mit einer Winkelgeschwindigkeit, die dem Quadrate der augenblicklichen Entfernung der Ecke des Dreiecks vom Rotationszentrum umgekehrt proportional ist.
In Kap. II wird der Fall diskutiert, wenn die drei Konstanten der Flächenintegrale Null sind. Das allgemeine Problem zerfällt dann in zwei selbständige, nacheinander zu lösende Probleme. Zunächst wird die Deformation der Pyramide untersucht, in deren Ecken die vier Massenpunkte liegen. Zur Lösung dieser Aufgabe müssen fünf Differentialgleichungen zweiter Ordnung integriert werden, welche fünf Kantenlängen jener Pyramide durch die sechste bestimmen. Danach wird die Bewegung dieser Pyramide im Raume gesucht; diese Aufgabe führt zu einer Riccatischen Differentialgleichung. Die Formeln dieses Kapitels werden auf den Fall angewandt, bei welchem die Massen der Punkte einander gleich sind. Das Punktsystem kann dann so in Bewegung gesetzt werden, daßje zwei Gegenkanten des Tetraeders \(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}\) einander gleich bleiben. Sind außerdem die Dreiecke, welche die Seiten des Tetraeders bilden, gleichschenklig, so ist das Problem durch Quadraturen lösbar.
Endlich wird in Kap. III der Fall untersucht, bei welchem die vier Massenpunkte in jedem Momente der Bewegung in einer Ebene liegen. Diese Aufgabe hängt von der Integration eines Systems von fünf Differentialgleichungen zweiter Ordnung ab. Sind die Massen zweier Punkte \(M_{1}\) und \(M_{2}\) einander gleich, so kann das Punktsystem so in Bewegung gebracht werden, daßdie Gerade \(M_{1}M_{2}\) von der Geraden \(M_{3}M_{4}\) senkrecht geschnitten und gehälftet wird. Die Ebene der Punkte dreht sich um \(M_{1}M_{2}\) mit einer Winkelgeschwindigkeit, die dem Quadrate der Entfernung \(M_{1}M_{2}\) umgekehrt proportional ist.
Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)
References:
| [1] | Seydler, Ausdehnung der Lagrangeschen Behandlung des Dreikörperproblems auf das Vierkörperproblem. Abhandlungen der math.-naturw. Klasse der k. böhmischen Gesellschaft der Wissensch. VII. Folge. Bd. I. 1886. · JFM 19.0938.01 |
| [2] | Lagrange, Essai sur le problème des trois corps. Oeuvres t. VI. |
| [3] | Sludski, Zur Aufgabe über die Bewegung eines Systems freier materieller Punkte. Zeitschr. der Moskauer Math. Gesellschaft. IX. 1878; Hoppe, Erweiterung der bekannten Speziallösung des Dreikörperproblems. Grunerts Archiv der Math. und Phys. 64. 1879. |
| [4] | Laplace, Mécanique céleste, l. X, ch. VI. |
| [5] | Lehmann-Filhés, Über zwei Fälle des Vielkörperproblems. Astron. Nachr. 127. 1891. · JFM 23.1222.01 |
| [6] | Die Aufgabe, in die dynamischen Gleichungen neue Variabele einzuführen, die mit den ursprünglichen durch Differentialgleichungen verbunden sind, ist in letzter Zeit schon recht häufig behandelt worden. Ausführlicheres über diese Aufgabe, wie auch über die betreffende Literatur findet man in meinem Vortrage ?Über eine Transformation der Gleichungen der Dynamik? (Protokolle der Kiewer physiko-mathematischen Gesellschaft aus dem Jahre 1900) oder auch in der neueren Abhandlung von G. Hamel, Über die virtuellen Verschiebungen in der Mechanik (Math. Annalen Bd. 59. 1904). |
| [7] | Vergl. unseren oben erwähnten Vortrag oder auch die Abhandlung von K. Heun, Die Bedeutung des D’Alembertschen Prinzipes für starre Systeme und Gelenkmechanismen (Archiv für Math. und Phys. III. 2. 1902. § 17). |
| [8] | Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, Vorl. IV. |
| [9] | Vergl. z. B. Darboux, Théorie des surfaces, t. I. ch. II. |
| [10] | Sylvester, On the Motion of a Rigid Body acted on by no external Forces. Philosoph. Transact. of the Royal Society of London, vol. 156, 1866, p. 778. |
| [11] | Radau, Sur une propriété des systèmes qui ont un plan invariable. Liouville Journ. de Mathém. s. 2. t. XIV, 1869. · JFM 02.0699.01 |
| [12] | Routh, A treatise on the stability of a given state of motion, ch. IV, art. 20. London 1877. |
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