Die Lehre von den analytischen Funktionen einer Veränderlichen steht in engstem Zusammenhang mit der konformen Abbildung, und zwar handelt es sich dabei um zwei wesentlich verschiedene Probleme. Erstens sei in der \(z\)-Ebene ein Kurvenbogen \(l\) und auf ihm ein Punkt \(m\) gegeben und ebenso in der \(Z\)-Ebene ein anderer Kurvenbogen \(L\) und auf ihm ein Punkt \(M\). Dann fragt es sich, ob man eine analyutische Funktion \(Z(z)\) so bestimmen kann, daßsie sich in der Nähe von \(m\) regulär verhält, daßdem Punkte \(M\) in der \(Z\)-Ebene der Punkt \(m\) in der \(z\)-Ebene entspricht, und daß\(Z\) den Kurvenbogen \(L\) beschreibt, wenn \(z\) den Kurvenbogen \(l\) durchläuft. Dieses “lokale Problem” hat bekanntlich unzählig viele Lösungen. Es sei zweitens in der \(z\)-Ebene eine geschlossene Kurve \(l\) gegeben, die ein Gebiet \(D\) einschließt. Dann fragt es sich, ob man eine analytische Funktion \(Z(z)\) so bestimmen kann, daßsie sich in dem Gebiet \(d\) regulär verhält, und daß\(Z\) die Kurve \(L\) oder das Gebiet \(D\) durchläuft, wenn \(z\) die Kurve \(l\) oder das Gebiet \(d\) durchläuft. Dieses planare Problem (“problème étendu”) hat nach dem Dirichletschen Prinzip eine und nur eine Lösung.
Bei analytischen Funktionen \(Z\) und \(Z'\) von zwei Veränderlichen \(z\) und \(z'\) gibt es zwei analoge Probleme. Erstens sei in dem vierdimensionalen Raume der \(z,z'\) ein dreidimensionales “Flächenstück” \(s\) und auf ihm ein Punkt \(m\) gegeben, und ebenso in dem Raume der \(Z,Z'\) ein “Flächenstück” \(S\) und darauf der Punkt \(M\). Kann man die Funktionen \(Z\) und \(Z'\) von \(z\) und \(z'\) so bestimmen, daßsie sich in der Nähe des Punktes \(m\) regulär verhalten, daßdie Punkte \(M\) und \(m\) einander entsprechen, und daßder Punkt \((Z,Z')\) das Flächenstück \(S\) beschreibt, wenn der Punkt \((z,z')\) das Flächenstuck \(s\) durchläuft? Das ist das lokale Problem. Ist zweitens in dem Raume der \(z,z'\) ein geschlossenes, dreidimensionales Flächenstück \(s\) gegeben, das ein vierdimensionales Gebiet \(d\) begrenzt, und ebenso in dem Raume der \(Z,Z'\) ein geschlossenes, dreidimensionales Flächenstück \(S\), das ein vierdimensionales Gebiet \(D\) begrenzt, so fragt es sich, ob man die Funktionen \(Z\) und \(Z'\) von \(z\) und \(z'\) so bestimmen kann, daßsie sich in \(d\) regulär verhalten, und daßder Punkt \((Z,Z')\) das Gebiet \(D\) durchläuft, wenn der Punkt \((z,z')\) das Gebiet \(d\) durchläuft. Das ist das planare Problem; wenn es sich lösen läßt, so sind die Gebiete \(d\) und \(D\) aufeinender abgebildet worden, und zwar durch eine “reguläre Abbildung”.
Wie es von vornherein zu erwarten war, verhalten sich die Dinge bei den analytischen Funktionen von zwei Veränderlichen ganz anders, als bei den analytischen Funktionen einer Veränderlichen. Zunächst erkennt man leicht, daßdas lokale Problem keineswegs immer eine Lösung besitzt; denn es führt auf die Aufgabe, drei unbekannte Funktionen von drei reellen Veränderlichen zu bestimmen, die vier partiellen Differentialgleichungen genügen. Bei der genaueren Untersuchung hat man zu unterscheiden, ob das Flächenstück \(s\) Transformationen in sich gestattet oder nicht; unter Transformationen sind dabei Gleichungen der Form \[ Z=f(z,z'), \quad Z'=f'(z,z') \] zu verstehen. Wenn \(s\) keine Transformationen in sich gestattet, so hat das lokale Problem höchstens eine Lösung; ob es eine hat oder nicht, das läßt sich durch eine endliches Verfahren entscheiden. Wenn es aber eine Gruppe \(g\) von Transformationen gibt, die \(s\) in sich überführen, so folgt aus der Existenz einer Lösung sofort die Existenz von mehreren Lösungen. Damit aber eine Lösung existiert, ist notwendig, daßdie Gruppen \(g\) und \(G\) von \(s\) und \(S\) isomorph sind, oder kürzer, daßdie Flächenstücke \(s\) und \(S\) derselben Klasse angehören.
Bei den folgenden Untersuchungen beschränkt sich Poincaré auf den Fall kontinuierlicher Gruppen. Wie ein einfaches Beispiel zeigt, kann die kontinuierliche Gruppe \(g\) unendlich sein. Poincaré geht auf die unendlichen Gruppen nicht ein, sondern betrachtet die endlichen Gruppen, deren infinitesimale Transformationen sich auf Grund der Untersuchungen von Sophus Lie auf 27 mögliche Typen zurückführen lassen. Es bedarf jedoch noch einer besonderen Untersuchung, ob zu den so erhaltenen Gruppen auch dreidimensionale Flächenstücke \(s\) gehören; in der Tat zeigt es sich, daßbei gewissen Gruppen die Invarianten Mannigfaltigkeiten nur zweidimensional sind. Es folgen Bemerkungen über das Äquivalenzproblem und die zugehörige Invariantentheorie, und darauf werden einzelne Beispiele untersucht; im besonderen beschäftigt sich Poincaré mit den Transformationen der Hypersphäre, die, wie er beweist, eine kontinuierliche achtgliedrige Gruppe bilden.
Nunmehr wendet sich Poincaré zu dem planaren Problem und gibt zunächst einen neuen Beweis für das Theorem Funktion von Hartogs (F. d. M. 37, 443, 1906, JFM 37.0443.01), nach dem eine analytische Funktion von zwei Veränderlichen \(z,z'\) in dem vierdimensionalen Gebiete \(d\) regulär ist, sobald feststeht, daßdiese für die begrenzende dreidimensionale Fläche \(s\) gilt. Bei den weiteren Betrachtungen beschränkt er sich auf die Hypersphäre, und zwar gelingt es ihm, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Lösbarkeit des planaren Problems aufzustellen, wenn die Fläche \(s\) die Hypersphäre und die Fläche \(S\) eine wenig davon abweichende Fläche ist.