\(\mu(m)\) bedeutet die zahlentheoretische Funktion. die gleich \((-1)^\varrho\) oder 0 ist, je nachdem \(k\) aus \(\varrho\) unterschiedenen Primfaktoren besteht oder durch ein Quadrat \(> 1\) teilbar ist \((\mu{(1)}=1)\).
Es werden für die Reihen \((b < h)\): \[ T_{1,0}=\sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m},\quad T_{b,h}= \sum_{m=0}^\infty \frac{\mu(mb+h)}{mb+h}\,, \]
\[ T_{b,0}^g = \sum_{m=1}^{mb<g}\;\frac{\mu(mb)}{mb}\,,\quad T_{b,h}^g =\sum_{m=0}^{mb+h<g}\;\frac{\mu(mb+h)}{mb+h} \] verschiedene Formeln bewiesen, woraus z. B. folgt: \[ \begin{aligned} & T_{20}=-\frac 12+\frac 16+\frac{1}{10} +\frac{1}{14} \cdots =0,\\ & T_{21}=1-\frac 13 -\frac 15 -\frac 17-\frac {1}{11} \cdots=0, \\ & T_{31}=1-\frac 17+\frac{1}{10}-\frac{1}{13}-\frac{1}{19} \cdots =\frac{3 \sqrt 3}{2\pi}\,,\\ & T_{32}=-\frac 12-\frac 25-\frac{1}{11} +\frac{1}{14} \cdots =-\frac{3 \sqrt 3}{2\pi}\,, \\ & T_{50}=0;\quad T_{51}=1+\frac 16-\frac{1}{11} +\frac{1}{21} +\frac{1}{26} \cdots =\frac{1}{2\pi} \left( 3 \sin 72^\circ + \sin 36^\circ \right) - \frac{1+4\cos 72^\circ}{8 \log \sin 18^\circ} =1,128, \\ & T_{52}=\frac 12-\frac 17-\frac{1}{17} +\frac{1}{22} -\frac{1}{37} \cdots =\frac{1}{2\pi} (\sin 72^\circ + 3\sin 36^\circ) + \frac{1+4\cos 72^\circ}{8 \log 2\sin 18^\circ}=-0,710, \\ & T_{53}=\frac 13-\frac{1}{13}-\frac{1}{23} +\frac{1}{33}+ \frac{1}{38} \cdots =\frac{1}{2\pi} (-\sin 72^\circ + 3\sin 36^\circ) + \frac{1+4\cos 72^\circ}{8 \log 2\sin 18^\circ}=-0,452, \\ & T_{54}=\frac{1}{14}-\frac{1}{19}-\frac{1}{29} +\frac{1}{34} +\frac{1}{39} \cdots =\frac{1}{2\pi} (- 3 \sin 72^\circ - \sin 36^\circ) - \frac{1+4\cos 72^\circ}{8 \log 2\sin 18^\circ} =0,034. \end{aligned} \]