Es sei vorgelegt eine Gruppe \(G_x\) von linearen, unimodularen, reellen, orthogonalen Substitutionen \(A\) in den Variabeln \(x\). Unterwirft man die \(x\) von neuem einer linearen Transformation, symbolisch: \(x=r[t]\), so entsteht aus \(G_x\) die neue Gruppe \(r^{-1}Gr=\varGamma_t\), die aber im allgemeinen weder reell, noch orthogonal ist.
Ist indessen umgekehrt eine Gruppe \(\varGamma_t\) derart, daßsie durch eine Substitution \(t=r^{-1}[x]\) in eine reell-orthogonale übergeführt werden kann, so heißt \(\varGamma_t\) “realisabel” und \(r\) die “Realisante”.
Es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daßeine Gruppe \(\varGamma_t\) realisabel ist. Es ergeben sich diese Bedingungen aus den Untersuchungen (s. das folgende Referat, JFM 33.0133.01) des Verf. über die Hermiteschen Formen. Eine Matrix (bilineare Form, Substitution) \(A\) ist im besondern symmetrisch für \(A'=A\), reell für \(\overline{A} =A\), orthogonal für \(A'A=E\), unitär für \(\overline{A'}A=E\), endlich eine Hermitesche für \(\overline{A'}=A\); wenn \(A\) eine Hermitesche Form und außerdem \(A(x, \overline{x})\) eine stets positive Form ist, so nennt der Verf. \(A\) “un Hermitien”.
Der Verf. gelangt zu dem Satz:
“Damit eine Gruppe \(\varGamma_t\) realisabel ist, ist notwendig und hinreichend, daß:
(I) \(\varGamma_t\) zwei absolute Invarianten besitzt, un Hermitien \(H(t, \overline{t})\) und eine quadratische unimodule Form \(P\);
(II) nachdem \(\varGamma_t\) mittels der Hermiteschen Substitution \(H^{-\frac 12}\) unitär gemacht ist, die transformirte Matrix \(P\) eine unitäre ist.”
Der Beweis stützt sich auf die beiden Hülfssätze:
(A) “Von den drei Eigenschaften der Realität, Unitarität, Orthogonalität einer Matrix ist stets je die dritte eine Folge der beiden andern.”
(B) “Jede Matrix ist das Produkt einer unitären und einer Hermiteschen.”