Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle, pouvant servir d’introduction à la théorie des fractions continues algébriques. (French) JFM 30.0206.02
Bei der Redaction dieser Arbeit hat der Verf. die Absicht gehabt und mit Erfolg durchgeführt, all dem einfachen und durchsichtigen Beispiele der Exponentialfunction alle, diejenigen Gesichtspunkte zu entwickeln und klarzustellen, welche er in früheren Abhandlungen (F. d. M. 24, 360, 1892, JFM 24.0360.02; 25, 378, 680-81, 1894, JFM 25.0378.02; 29, 374, 1898, JFM 29.0374.02) auf dem Gebiete der algebraischen Kettenbrüche gewonnen hat.
Nach willkürlicher Wahl zweier positiven ganzen Zahlen \(\mu\), \(\nu\) kann ein einziger Bruch \(U_{\mu,\nu}/V_{\mu,\nu}\) bestimmt werden, dessen Nenner und Zähler ganze Functionen vom Grade \(\mu\), resp. \(\nu\) sind, und der, nach steigenden Potenzen von \(x\) entwickelt, mit der Reihe für \(e^x\) bis zur Potenz \(x^{\mu+\nu}\) übereinstimmt. Die Gesamtheit aller dieser den verschiedenen Wertepaaren \(\mu\), \(\nu\) zugeordneten Näherungsbrüche bildet eine Tabelle mit doppeltem Eingang; nimmt man aber aus dieser Tabelle eine solche einfache Folge von Brüchen heraus, dass bei beliebigem Anfangspaar immer zwei auf einander folgende Wertepaare eine der drei Bedingungen erfüllen: \[ \begin{aligned} \mu''-\mu' &= 1\\ \nu''-\nu' &= 0\end{aligned}\text{ oder }\begin{aligned} &0\\ &1\end{aligned}\text{ oder }\begin{aligned} &1\\ &1\end{aligned}, \] so bestehen zwischen je 3 auf einander folgenden \(U\) oder \(V\) Recursionsformeln, welche der Bildung der Näherungswerte eines Kettenbruchs entsprechen; die Zahl der demnach zur Darstellung der Reihe möglichen Kettenbrüche ist also unendlich gross, selbst für die besonderen, vom Verf. als einfach und regulär bezeichneten, bei deren Aufstellung er in 3 Kategorien je 2 Typen unterscheidet, während man vor ihm überhaupt nur 5 specielle Kettenbrüche für \(e^x\) gekannt hat (Euler, Gauss, Lagrange). Von jenen Kettenbrüchen convergiren diejenigen, bei welchen \(\nu/\mu\) sich einem bestimmten Grenzwert nähert.
In einem Schlusskapitel recapitulirt der Verf. aus den früheren Arbeiten die Ausdehnung der obigen Resultate auf beliebige Reihen und die durch diese Verallgemeinerung notwendigen Abänderungen der Sätze und Entwickelungen; diese Gedanken leiten zu der noch nicht ganz geklärten Frage, wie man sich die Existenz convergenter Kettenbrüche bei Divergenz der Reihe zu erklären hat; der Verf. verspricht eine baldige Lösung derselben.
Nach willkürlicher Wahl zweier positiven ganzen Zahlen \(\mu\), \(\nu\) kann ein einziger Bruch \(U_{\mu,\nu}/V_{\mu,\nu}\) bestimmt werden, dessen Nenner und Zähler ganze Functionen vom Grade \(\mu\), resp. \(\nu\) sind, und der, nach steigenden Potenzen von \(x\) entwickelt, mit der Reihe für \(e^x\) bis zur Potenz \(x^{\mu+\nu}\) übereinstimmt. Die Gesamtheit aller dieser den verschiedenen Wertepaaren \(\mu\), \(\nu\) zugeordneten Näherungsbrüche bildet eine Tabelle mit doppeltem Eingang; nimmt man aber aus dieser Tabelle eine solche einfache Folge von Brüchen heraus, dass bei beliebigem Anfangspaar immer zwei auf einander folgende Wertepaare eine der drei Bedingungen erfüllen: \[ \begin{aligned} \mu''-\mu' &= 1\\ \nu''-\nu' &= 0\end{aligned}\text{ oder }\begin{aligned} &0\\ &1\end{aligned}\text{ oder }\begin{aligned} &1\\ &1\end{aligned}, \] so bestehen zwischen je 3 auf einander folgenden \(U\) oder \(V\) Recursionsformeln, welche der Bildung der Näherungswerte eines Kettenbruchs entsprechen; die Zahl der demnach zur Darstellung der Reihe möglichen Kettenbrüche ist also unendlich gross, selbst für die besonderen, vom Verf. als einfach und regulär bezeichneten, bei deren Aufstellung er in 3 Kategorien je 2 Typen unterscheidet, während man vor ihm überhaupt nur 5 specielle Kettenbrüche für \(e^x\) gekannt hat (Euler, Gauss, Lagrange). Von jenen Kettenbrüchen convergiren diejenigen, bei welchen \(\nu/\mu\) sich einem bestimmten Grenzwert nähert.
In einem Schlusskapitel recapitulirt der Verf. aus den früheren Arbeiten die Ausdehnung der obigen Resultate auf beliebige Reihen und die durch diese Verallgemeinerung notwendigen Abänderungen der Sätze und Entwickelungen; diese Gedanken leiten zu der noch nicht ganz geklärten Frage, wie man sich die Existenz convergenter Kettenbrüche bei Divergenz der Reihe zu erklären hat; der Verf. verspricht eine baldige Lösung derselben.
Reviewer: Müller, R., Dr. (Berlin)
MSC:
| 41A21 | Padé approximation |
| 40A15 | Convergence and divergence of continued fractions |
| 33B10 | Exponential and trigonometric functions |
