Die Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen, deren erster Band hier vorliegt, bilden die naturgemässe Fortsetzung des ,,Ikosaeders” von Klein und der ,,elliptischen Modulfunctionen” von Klein und Fricke. Die Vorrede giebt über die historische Entwickelung dankenswerte Belehrung; sie giebt auch an, durch welche Art von Zusammenwirken der beiden Herausgeber das Werk überhaupt erst ermöglicht wurde.
Der Band gliedert sich, nach einer Einleitung über projective Massbestimmungen, in drei Hauptabschnitte: Der erste Abschnitt enthält die Grundlagen für die Theorie der discontinuirlichen Gruppen linearer Substitutionen einer Variable; der zweite gilt der Durchführung der geometrischen Theorie der ,,Polygongruppen aus \(\zeta\)-Substitutionen”, während der letzte ergänzend arithmetischen Definitionsweisen eigentlich discontinuirlicher Gruppen aus \(\zeta\)-Substitutionen gerecht wird.
Die Einleitung ist, trotz ihrer verhältnismässigen Kürze, als ein ausserordentlich wichtiger Bestandteil des Ganzen anzusehen und könnte, ganz abgesehen von dem Zwecke, dem sie dient, eine selbständige Bedeutung beanspruchen. Es existirt wohl kaum sonst eine so abgeklärte Darstellung der projectiven Massbestimmungen. Zugleich ist die ganze Art der Behandlung charakteristisch für die Verfasser: jeder geometrische Gedanke wird erst als solcher herausgehoben und erfährt dann der Reihe nach die verschiedenartigsten analytischen Formulirungen; umgekehrt erhält jede Formel durch ausgiebigste Deutung der darin auftretenden Grössen eine sie umgebende Atmosphäre von zweckmässigen geometrischen Deutungen oder, richtiger gesagt, Abbildungen. Es gehört in der That ein hohes Mass von künstlerischer Darstellungskraft dazu, bei dieser Fülle von Wechselbeziehungen den Ueberblick nicht zu verlieren.
Wir wollen auf die ersten Entwickelungen etwas ausführlicher eingehen; die Begriffe der ,,hyperelliptischen”, ,,elliptischen” und ,,parabolischen” Massbestimmung setzen wir dabei als bekannt voraus.
Die euklidische oder ,,parabolische” Ebene gestattet eine ,,continuirliche” Gruppe der ,,ersten” Art von congruenten Verschiebungen oder ,,Bewegungen” in sich. Combinirt man damit eine einzelne ,,Umklappung” der Ebene, so entspringt ein neues Continuum von Operationen, das zusammen mit der Gruppe der Bewegungen die ,,erweiterte” Gruppe liefert (eine Gruppe der ,,zweiten Art”). Entfernung zweier Punkte und Winkel zweier Geraden sind Invarianten beider Gruppen. Der analytische Ausdruck hierfür wird einfacher, wenn man die Verhältnisse der drei reellen Coordinaten \(z_i\) ersetzt durch eine einzige complexe Variable \(\zeta=\xi+i\eta\) vermöge \(\xi:\eta:1= z_1:z_2:z_3\), i. e. (1) \(\zeta=\frac{z_1+iz_2}{z_3}\); die beiden Gruppen sind dann bekanntlich (2) \(\zeta'=e^{\vartheta i}z+c\), (3) \(\zeta'=e^{\vartheta i}\bar\zeta+c\), wenn \(\vartheta\) ein reeller Winkel ist, \(c\) eine complexe Constante, \(\bar\zeta\) der zu \(\zeta\) conjugirte Wert.
Charakteristisch für die ganze Auffassung ist hier bereits die Art, wie die Gleichung (1) nebst der entsprechenden für \(\bar\zeta\): (4) \(z_1+iz_2-\zeta z_3=0\), \(z_1-iz_2-\bar\zeta z_3=0\) wieder in der projectiven Ebene der \(z\) gedeutet wird. Hier spielen zunächst \(\zeta\) und \(\bar\zeta\) die Rolle der Parameter zweier Geradenbüschel, deren Centren die beiden Kreispunkte sind. Man kann aber mit Vorteil den Gesichtspunkt derart erweitern, dass man die \(z\) selbst als complexe Variable ansieht; ein Punkt dieser so erweiterten Ebene wird dann durch die beiden, als unabhängig zu denkenden Parameter \(\zeta\), \(\bar\zeta\) bestimmt, die den von ihm nach den Kreispunkten gehenden Geraden zugehören.
Um die hyperbolische und die elliptische Ebene zu studiren, bedarf es der Kenntnis aller reellen Collineationen eines nicht zerfallenden Kegelschnitts \(K\) in sich.
Es genügt, \(K\) in der Gestalt (5) \(z_1z_3-z_2^2=0\) anzunehmen; es wird dann aber wiederum erforderlich, um nicht vorzeitig unnötig zu specialisiren, gleich die Gesamtheit aller complexen Collineationen von \(K\) in sich in’s Auge zu fassen. Man erhält die bekannten Formeln: \[ z_1'=\alpha^2z_1+2\alpha\beta z_2+\beta^2z_3,\quad z_2'=\alpha\gamma z_1+(\alpha\delta+\beta\gamma)z_2+\beta\delta z_3,\tag{6} \] \(z_3'=\gamma^2z_1+2\gamma\delta z_2+\delta^2z_3\), wo aber die \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) beliebige complexe Constanten bedeuten \((\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0)\). Stellt man aber die Punkte von \(K\) (incl. ihrer Tangenten) durch einen (complexen) Parameter \(\zeta\) dar: (7) \(z_1:z_2:z_3= \zeta^2:\zeta:1\), so erfährt \(\zeta\) die allgemeine lineare Substitution: (8) \(\zeta'=(\alpha\zeta+\beta)/(\gamma\zeta+\delta)\). Im hyperbolischen Falle sind dann einfach die \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) reell anzusetzen; die Bewegungen der ersten Art entsprechen einem positiven \(\alpha\delta-\beta\gamma\). Im elliptischen Falle geht man vermöge einer leichten imaginären Transformation von (5) über zu (9) \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\). Die complexen Collineationen von (9) in sich erfahren eine mit (6) ähnliche Darstellung: sind im besondern \(\alpha\), \(\delta\) sowie \(\beta\), \(\gamma\) conjugirt complex, so resultirt die bezügliche Gruppe der reellen Collineationen.
Im übrigen greift eine Erweiterung der Auffassung Platz, wie bei der parabolischen Ebene; \(\zeta\), \(\bar\zeta\) werden zu unabhängigen Parametern der Tangentenpaare von \(K\) und erfahren im hyperbolischen Falle, entsprechend (6), direct congruente Substitutionen. Vermöge der specialisirten \(\zeta\), \(\bar\zeta\) lässt sich das Innere wie das Aeussere der ,,Ellipse” \(K\) deutlich übersehen. Trägt man des weiteren in jedem Punkte der Ebene \(\pm\sqrt{z_1z_3-z_2^2}\) als Lot auf, so gelangt man zu einer Fläche zweiten Grades, die bei zweckmässiger Wahl des Coordinatensystems direct in die Riemann’sche \(\zeta\)-Kugel übergeht. Die Gruppe (8) der hyperbolischen Bewegungen der positiven \(\zeta\)- Halbebene wird zu der der Bewegungen der \(\zeta\)-Kugel in sich. Entsprechendes gilt für den elliptischen Fall. Mit diesen Mitteln gelingt eine geometrisch wie analytisch leicht zu handhabende Uebertragung der hyperbolischen wie elliptischen Massbestimmung auf die \(\zeta\)-Ebene und auf die \(\zeta\)-Kugel (und damit auf den Raum).
Wir kommen nunmehr zum ersten Abschnitte. Die Theorie der discontinuirlichen Gruppen linearer Substitutionen basirt auf der Unterscheidung continuirlicher und discontinuirlicher Gruppen überhaupt; in die Substitutions-Coefficienten der ersteren gehen continuirlich veränderliche Parameter ein, in die der letzteren nicht. Die Systeme ,,äquivalenter” Punkte bezüglich einer continuirlichen Gruppe bilden continuirliche, die bezüglichen einer discontinuirlichen Gruppe discrete Punktmannigfaltigkeiten, die aber sehr wohl ein Continuum ,,überall dicht” erfüllen können. Unter den discontinuirlichen Gruppen linearer \(\zeta\)-Substitutionen sind wieder von besonderer Bedeutung die ,,eigentlich” discontinuirlichen, für die nämlich innerhalb eines vorgelegten ,,Aequivalenzgebietes” der Fundamentalbereich oder ,,Discontinuitätsbereich” ein Gebilde von der gleichen Dimensionenanzahl vorstellt, wie das Gebiet selbst. Ein und dieselbe Gruppe kann unter Umständen in einem Gebiete uneigentlich, in einem anderen eigentlich discontinuirlich sein. Es hängt das nicht allein von der ,,Structur” der Gruppe, sondern auch von ihrer speciellen ,,Darstellungsform” ab.
Das Thema des Werkes lässt sich jetzt dahin formuliren: aus der Gruppe (erster, resp. zweiter Art) aller linearen \(\zeta\)-Substitutionen die — sei es in der \(\zeta\)-Ebene, sei es im \(\zeta\)-Raume — eigentlich discontinuirlichen Untergruppen auszusondern und deren Bedeutung für Geometrie, Arithmetik und Functionentheorie darzustellen.
So sind die cyklischen Gruppen (abgesehen von einem Ausnahmefalle) in der \(\zeta\)-Ebene eigentlich discontinuirlich, die Gruppen der regulären Körper sind es als solche von endlicher Ordnung von selbst. Die ,,Modulgruppe” (für die \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) rationale ganze Zahlen sind und \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\)) besitzt nur im Ellipseninnern der hyperbolischen Ebene den Charakter der eigentlichen Discontinuität. Sind \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) ganze complexe Zahlen mit \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\) oder \(=i\), so bilden die bezüglichen Substitutionen eine Gruppe \(\Gamma\), innerhalb der die mit \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\) eine ausgezeichnete Untergruppe \(\Gamma_2\) des Index 2 ausmachen. Diese ,,Picard’schen Gruppen” sind noch nicht in der \(\zeta\)-Ebene, wohl aber im \(\zeta\)- Halbraume eigentlich discontinuirlich; der Halbraum wird dabei vollständig und einfach mit Kugelschalen-Tetraedern \(T_0\), \(T_1\), \(T_2\), ... ausgefüllt, die durch Spiegelung aus einem Ausgangstetraeder \(T_0\) entstehen.
Die erwähnten Beispiele von Gruppen waren geometrisch definirt; man wird aber allgemein analytisch an den Substitutionen einer Gruppe direct erkennen wollen, ob sie eigentlich discontinuirlich ist oder nicht. Dazu dient der Begriff einer ,,infinitesimalen” Substitution, für welche die drei Zahlwerte \(\beta\), \(\gamma\), \(\alpha-\delta\) unendlich klein sind. Eine Gruppe \(\Gamma\) ,,enthält infinitesimale Substitutionen”, wenn es innerhalb \(\Gamma\) Substitutionen \(V(\neq1)\) giebt, für welche die Moduln von \(\beta\), \(\gamma\), \(\alpha-\delta\) zugleich kleiner sind, als eine vorgegebene, beliebig kleine positive Zahl \(\varepsilon\). Man sieht leicht, dass, wenn \(\Gamma\) in der \(\zeta\)-Ebene oder doch jedenfalls im \(\zeta\)- Halbraum eigentlich discontinuirlich ist, \(\Gamma\) keine infinitesimalen Substitutionen enthalten kann. Es lässt sich aber auch nach Poincaré das Umgekehrte beweisen, und somit sind die im Werke betrachteten Gruppen \(\Gamma\) kurz definirt als die \(\zeta\)-Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen (p. 98). Damit werden u. a. die bei den Bewegungen der hyperbolischen Halbebene in sich auftretenden Gruppen zugänglich, das sind die sogenannten ,,Hauptkreisgruppen”, die das Innere eines beliebig gewählten Kreises, der die Verallgemeinerung der reellen \(\zeta\)-Axe repräsentirt, in sich überführen. Unter diesen Hauptkreisgruppen giebt es solche, die innerhalb der \(\zeta\)-Ebene nicht nur im Innern der Ellipse, sondern auch auf derselben und selbst noch im Ellipsenäussern eigentlich discontinuirlich sind. Für die Discontinuitätsbereiche der Hauptkreisgruppen (ohne infinitesimale Substitutionen) wird eine gewisse ,,Normirung” festgesetzt: sie werden dann zu ,,Normalpolygonen” der Gruppe, und deren Ecken und Kanten wird eine eingehende Untersuchung gewidmet. Die Uebertragung auf den hyperbolischen Raum führt entsprechend zu ,,Normalpolyedern”, deren Theorie sich noch weit mannigfaltiger gestaltet, aber auch für alle \(\zeta\)-Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen gültig bleibt. Ist die Gruppe auf der Kugeloberfläche selbst eigentlich discontinuirlich, so wird sie zu einer ,,Polygongruppe”; diese beanspruchen ein ganz besonderes Interesse; eine solche Gruppe kann in keinem, wenn auch noch so kleinen Flächengebiete auf der Kugel uneigentlich discontinuirlich sein. Punkte der Kugel, die von den Polygonen nicht erreicht werden, heissen ,,Grenzpunkte” der Gruppe. Da Grenzpunkte niemals endliche Flächenteile füllen, wird man zum Begriff der ,,Grenzcurve” geführt (p. 131), die eine zusammenhängende Kette unendlich vieler Grenzpunkte enthält. Diese Grenzcurven weisen eine merkwürdige Complicirtheit auf: eine solche windet sich spiralig um jeden ihrer unendlich vielen ,,loxodromischen Fixpunkte” unendlich oft; aber noch mehr, sie sind (den Fall der Kreise ausgenommen), wie Klein zuerst bemerkte, durch keine analytischen Gleichungen zwischen den Coordinaten \(\xi\), \(\eta\) darstellbar.
Die Discontinuitätsbereiche dürfen in einer gewissen ,,erlaubten” Weise abgeändert werden; allen diesen Abänderungen gegenüber bleibt das System aller Grenzpunkte einer Gruppe auf der Kugel invariant. Daraufhin können nunmehr wieder geometrisch alle Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen durch geeignete Discontinuitätsbereiche (in der Ebene, wie im Raume) definirt werden (,,Existenztheoreme”); es wird eine systematische Klassificationstabelle aufgestellt (p. 164). Daran schliesst sich naturgemäss die ,,Erzeugung” der Gruppen und die Untersuchung der zwischen den erzeugenden Substitutionen bestehenden Relationen. Bei jeder Gruppe existirt für die Anzahl \(n\) der Discontinuitätsbereiche ein eindeutig bestimmtes Minimum. Die Ecken des Ausgangspolygons liefern eine gewisse Anzahl von Relationen für die erzeugenden Substitutionen der Gruppe, aus denen sich alle übrigen Relationen herleiten lassen. Ein weiteres fruchtbares Untersuchungsprincip besteht darin, ein einzelnes Polygon durch Zusammenbiegung seiner auf einander bezogenen Randcurven in eine im Raume gegebene (im Sinne der Analysis situs zu behandelnde) Fläche \(F\) zu verwandeln. Ist das Polygon von der ,,ersten Art”, so ist \(F\) vollständig geschlossen; die Umgebung eines Punktes der \(\zeta\)-Kugel ist im allgemeinen eindeutig auf die Umgebung des zugeordneten Flächenpunktes bezogen; dagegen ist \(F\) durchaus nicht immer der zugehörigen Gruppe eindeutig zugeordnet. Hinwiederum ist die den Grad des Zusammenhanges von \(F\) messende Geschlechtszahl \(p\) gegenüber erlaubten Abänderungen des Ausgangspolygons \(P_0\) invariant; \(p\) ist demnach ein Attribut von \(P_0\) und dadurch mittelbar auch der Gruppe. Insbesondere kommt der Fall der ,,symmetrischen” Flächen \(F\) in Betracht. Die fraglichen geometrischen Ueberlegungen finden eine zweckmässige abstracte Ergänzung mittels des Begriffes der ,,Composition” zweier Gruppen; die componirte Gruppe ist die kleinste, in der die beiden gegebenen Gruppen als Untergruppen enthalten sind. Andererseits dient als ein oft bewährtes formales Hülfsmittel die Homogenisirung der Substitutionen und Gruppen.
Damit dürften in der Hauptsache die Methoden und allgemeinen Anschauungsweisen skizzirt sein, die der im zweiten Abschnitt vor sich gehenden Einzeluntersuchung der thatsächlich existirenden Gruppen zu Grunde liegen.
Im Vordergrunde stehen hierbei die ,,Rotationsgruppen”, das sind die Untergruppen der reellen Collineationen der \(\zeta\)-Gruppe, die einen vorgeschriebenen Punkt des hyperbolischen Raumes zum Fixpunkte (,,Centrum”) haben; sie zerfallen in drei Klassen, je nachdem das Centrum ausserhalb, innerhalb oder auf der absoluten Kugel liegt. Es werden die elliptischen und parabolischen, dann die hyperbolischen Rotationsgruppen behandelt unter Beschränkung auf die Polygongruppen, da die eigentlichen Polyedergruppen bei den späteren functionentheoretischen Untersuchungen keine Rolle mehr spielen. Die elliptischen und parabolischen Rotationsgruppen lassen sich erschöpfend behandeln; die hyperbolischen kommen erst später unter Heranziehung der ,,kanonischen Polygone” zur abschliessenden Erledigung. Von den Nicht-Rotationsgruppen wird eine Reihe wichtiger Beispiele untersucht.
Der letzte, arithmetische Abschnitt legt zunächst die Zusammenhänge dar, die zwischen den Rotationsuntergruppen innerhalb der Picard’schen Gruppe mit der Dirichlet-Hermite’schen Theorie der binären quadratischen Formen bestehen. Es folgen Verallgemeinerungen auf ternäre und quaternäre quadratische Formen. Das Schlusskapitel ist einer speciellen Art von Hauptkreis und Polyedergruppen mit ganzen algebraischen Substitutionscoefficienten gewidmet. (Man vergl. diesbezüglich das nachfolgende Referat über eine Abhandlung von Fricke, siehe JFM 28.0339.01).
Wir müssen uns mit dieser summarischen Uebersicht über die in Rede stehenden Einzeluntersuchungen begnügen und uns versagen, auf die Fülle der erhaltenen Einzelergebnisse und weiterer specifischer Hülfsmittel einzugehen; nach Erscheinen des zweiten Bandes wird sich Gelegenheit bieten, ausführlicher darauf zurückzukommen. Als Hauptmoment sei noch einmal betont, dass es den Verfassern gelingt, ein umfangreiches und weitverzweigtes Gebiet der höheren Analysis mit anschaulichen Methoden zu erfassen, ohne dass die ergänzenden analytisch-arithmetischen Nachweise irgendwie vernachlässigt würden.