Diese Arbeit bildet die Fortsetzung einer über denselben Gegenstand in den Palermo Rend. 5 (F. d. M. 23, 319, 1891, JFM 23.0319.01) erschienenen Untersuchung des Verfassers. Die Differentialgleichung wird unter der Form betrachtet: (1) \((yN-zM)dx + (zL-xN)dy + (xM-yL)dz = 0\), wo \(M\), \(N\), \(L\) ganze homogene Functionen vom Grade \(m\) in \(x\), \(y\), \(z\) bedeuten. Das als algebraisch vorausgesetzte Integral hat die Form \(f+C\varphi=0\), wo \(f\) und \(\varphi\) homogene Polynome vom Grade \(p\) sind. Die singulären Punkte der Gleichung (1) sind durch die Gleichungen \(L/x=M/y=N/z\) gegeben; ihre Zahl ist \(m^2+m+1\), und sie sind alle von einander verschieden vorausgesetzt. Es war im ersten Teile gezeigt worden, dass in der Umgebung eines singulären Punktes \((x_0,y_0,z_0)\) das allgemeine Integral in die Form \(X_1^{S_1}X_2^{-S_2}=\)const. gebracht werden kann, wo \(X_1\) und \(X_2\) Reihen sind, geordnet nach steigenden Potenzen von \(x/z-x_0/z_0\), \(y/z- y_0/z_0\). Der Quotient \(S_1/S_2\) muss reell und commensurabel sein, wenn das allgemeine Integral algebraisch sein soll. Die Punkte, für welche der Quotient positiv ist, heissen Knoten (,,noeuds”), und zwar monokritisch (,,monocritique”), wenn der Quotient nicht gleich 1 ist. Ist er gleich 1, so hat das Integral in der Umgebung des bezüglichen Knotens im allgemeinen die Form \(X_1X_2^{-1}+A\log X_1=\)const. Die algebraische Integrirbarkeit von (1) erfordert dann, dass \(A=0\) ist. Der Knoten heisst dann dikritisch (,,dicritique”). Es giebt ,,merkwürdige” Werte von \(C\), die das Polynom \(f+C_{\varphi}\) zerlegbar machen, so dass es \(=u_1^{a_1} u_2^{a_2}\dots u_k^{a_k}\) ist. Es wird eine Reihe von Relationen und Ungleichheiten aufgestellt, die betreffs der Zahl der merkwürdigen Werte, der Zahl der einem jeden entsprechenden Factoren, endlich der der Verhältnisse der Exponenten \(\alpha_i\) zu einander nur eine endliche Anzahl von Hypothesen annehmbar machen. Wird eine derselben adoptirt, so handelt es sich nun um die Bestimmung der Grade \(n_i\) von \(u_i\). Es werden zu dem im ersten Teil angegebenen Fall neue sehr ausgedehnte Fälle hinzugefügt, in denen es gelingt, die Zahlen \(n_i\) und somit den Grad \(p\) zu begrenzen, wodurch das Problem der algebraischen Integration in diesen Fällen als gelöst zu betrachten ist.
Es folgt dann eine längere Discussion über die Werte der \(\lambda_i\), wo \(\lambda_i\) die Ordnung der Vielfachheit eines Knotenpunktes für die Curve \(u_i=0\) bezeichnet. Die hierfür aufgestellten Relationen lassen im allgemeinen unendlich viele Lösungen zu. In dem speciellen Falle, dass \(m=4\) und unter den 21 existirenden singulären Punkten neun dikritische Knoten sich befinden, gelingt es dem Verfasser, die grossen sich hier bietenden Schwierigkeiten zu überwinden, deren Natur daraus erhellt, dass rein arithmetische Betrachtungen nicht genügen, und erst mit Hülfe des Abel’schen Theorems die Aufgabe gelöst wird. Zum Studium der singulären Punkte übergehend, wird gezeigt, dass, wenn ein solcher ein vielfacher Punkt von der Ordnung \(\lambda\) für die Curve \(f+C\varphi=0\) ist, die rationale Function \(f:\varphi\) der Quotient zweier ganzen homogenen Polynome von der Ordnung \(\lambda\) in \(X_1\) und \(X_2\) ist, falls der Knoten dikritisch ist; ist er monokritisch, dann ist \(f:\varphi\) der Quotient zweier ebenso beschaffenen Polynome in \(X_1^\mu\) und \(X_2^\nu\), wo \(\mu:\nu=S:S_2\) und \(\mu\), \(\nu\) relativ prim sind. Schliesslich werden Fuchs’sche Functionen in folgender Weise eingeführt. Es seien gegeben 1) die merkwürdigen Werte \(C_1\), ..., \(C_q\), die Zahl \(\lambda\), die Zahlen \(\lambda_i\) und die Exponenten \(\alpha_i\) für die verschiedenen den merkwürdigen Werten entsprechenden Factoren, \(M_k\) eins der gemeinsamen Vielfachen der Exponenten \(\alpha_i\) entsprechend \(C_k\).
Man construirt ein Fuchs’sches Polygon \(R_0\) der ersten Familie und des ersten Geschlechts mit \(2q-2\) Ecken, verteilt in \(q\) Cyklen; die Summe der Winkel des \(k^{\text{ten}}\) Cyklus ist \(2\pi/M_k\). Es giebt dann eine Fuchs’sche Function \(F(\zeta)\), die in einem Punkte des \(k^{\text{ten}}\) Cyklus gleich \(C_k\) ist. Man setze \(F(\zeta)=-f/\varphi\), dann ist nach dem Obigen für einen dikritischen Knoten \(F(\zeta)=R(X_1/X_2)=R(Z)\), wo \(R\) eine rationale Function bedeutet. Es wird gezeigt, dass \(Z\) eine eindeutige Function von \(\zeta\) ist. Für denselben Wert von \(F(\zeta)\) nimmt \(Z\) \(\lambda\) Werte an. Betrachtet man \(\lambda\) Fuchs’sche Polygone, die \(R_0\) congruent sind: \(R_0\), \(R_1\), ..., \(R_{\lambda-1}\), so bildet die Gesamtheit dieser Polygone ein Fuchs’sches Polygon \(S_0\); dieses erzeugt eine Fuchs’sche Gruppe, deren Substitutionen \(Z\) nicht ändern, also ist \(Z\) eine Fuchs’sche Function von \(\zeta\). Das Geschlecht des Polygons \(S_0\) ist Null und die Zahl seiner Seiten \(2\lambda(q-2)\). Es handelt sich nun um die Art, wie sich die verschiedenen Teilpolygone \(R_k\), aus denen sich \(S_0\) zusammensetzt, vereinigen, und wie die Seiten zu je zweien conjugirt sind. Es wird gezeigt, wie angesichts der Bedingungen, die die entsprechenden Substitutionen zu erfüllen haben, die Frage nach der Existenz von \(S_0\) mit der Frage zusammenhängt, ob es homogene Polynome \(P\) und \(Q\) der Ausdrücke \(X_1\) und \(X_2\) vom \(\lambda^{\text{ten}}\) Grade gebe, die die Relation \(A_kP+B_kQ=U_1^{a{{1}\atop{k}}} U_2^{a{{2}\atop{k}}}\dots U_k^{a{{k}\atop{k}}}\) erfüllen, wo \(B_k/A_k=C_k\), \(U_h\) ein Polynom vom Grade \(\lambda_k^h\), und \(\alpha_k^1\), ..., \(\alpha_k^k\), \(\lambda_k^1\), ..., \(\lambda_k^k\) die Zahlen \(\alpha_i\) und \(\lambda_i\), entsprechend dem Wert \(C_k\), sind. Es ergiebt sich, dass man stets auf eine endliche Anzahl von Arten \(\lambda\) Polygone \(R_0\), \(R_1\), ..., \(R_{\lambda-1}\) finden kann, um das Polygon \(S_0\) zu bilden, womit dann auch die Bildung der Polynome \(P\) und \(Q\) gegeben ist. Diese Untersuchung wird dann auf die monokritischen Knoten ausgedehnt, und daran werden Bemerkungen über die Beziehungen der durch \(R_0\) erzeugten Fuchs’schen Gruppe \(\zeta\) zu der durch \(S_0\) erzeugten Gruppe geknüpft.