A generating function for the number of permutations with an assigned number of sequences. (English) JFM 28.0198.01
André hat in seinen Arbeiten über die Permutationen (vergl. F. d. M. 26, 238, 1895, JFM 26.0238.01; JFM 26.0238.02) die Formel gegeben:
\[
P_{n,s} = sP_{n-1,s} + 2P_{n-1,s-1} + (n-s)P_{n-1,s-2},
\]
wo \(P_{n,s}\) die Anzahl der Permutationen von \(n\) Elementen mit \(s\) Sequenzen bedeutet. Der Verf. ermittelt eine Function von \(x\) und \(y\), die, nach positiven ganzen Potenzen von \(x\) und \(y\) entwickelt, \(P_{n,s}\) zum allgemeinen Coefficienten besitzt. Diese ,,erzeugende Function” \(z\) hat den Ausdruck:
\[
z = \frac{1-x}{1+x}\cdot\frac1{1-\sin(y\cos t+t)} - \frac1{1+x},
\]
wo \(t\) derjenige Bogen ist, dessen sinus gleich \(x\) ist und mit \(x\) verschwindet. Einige Anwendungen machen den Beschluss des Artikels.
Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)
Online Encyclopedia of Integer Sequences:
a(n) = E(n+1) - 2*E(n), where E(i) is the Euler number A000111(i).Triangle T(n,k) = P(n,k)/2, n >= 2, 1 <= k < n, of one-half of number of permutations of 1..n such that the differences have k runs with the same signs.
Triangle read by rows: T(n,k) is the number of permutations of [n] with k increasing runs of length at least 2.
