Justification of Lagrange’s multiplyer rule in the calculus of variations by comparison with a new method which leads to the same solution. (Begründung der Lagrange’schen Multiplicatorenmethode in der Variationsrechnung durch Vergleich derselben mit einer neuen Methode, welche zu den nämlichen Lösungen führt.) (German) JFM 27.0293.01
Die in der Variationsrechnung früher üblichen Beweise für die Lagrange’sche Multiplicatorenmethode waren sämtlich nicht entscheidend, weil nur gezeigt wurde, dass die gefundenen Lösungen den Forderungen des Problems genügen, nicht aber, dass sie die einzigen sind. Zuerst hat dann A. Mayer (F. d. M. 17, 357-358, 1885, JFM 17.0357.01) eine ganz befriedigende Begründung der Lagrange’schen Methode gegeben. Es kommt, wie Mayer erkannte, darauf an, die Bedingung, dass nicht allein die \(n-m\) unabhängigen Variationen, sondern auch die \(m\) übrigen an den Grenzen Null werden sollen, in Rechnung zu bringen; hierbei bezeichnet \(n\) die Anzahl der unbekannten Functionen, welche nebst ihren ersten Ableitungen nach \(x\) sowohl in dem gegebenen Integrale, als in den \(m\) Bedingungsgleichungen vorkommen.
Während Mayer die Richtigkeit der Lagrange’schen Methode auf directem Wege nachweist, bedient sich der Verf. der vorliegenden Abhandlung einer neuen, von der Lagrange’schen unabhängigen Methode, welche zu Lösungen desselben Problems führt. Während bei der Lagrange’schen Methode, wie der Verf. zeigt, freier variirt wird, als eigentlich erlaubt ist, so dass also richtige Lösungen entschlüpfen können, schränkt er bei seiner Methode die Variationen mehr als nötig ein. Dadurch tritt die Möglichkeit ein, dass sich Lösungen des Problems ergeben können, welche bei geringerer Einschränkung der Variationen wegfallen würden; jedenfalls müssen unter diesen Lösungen die richtigen sich befinden. Schliesslich beweist der Verf., dass die nach seiner Methode erhaltenen Lösungen mit den nach der Lagrange’schen Methode gefundenen identisch sind.
Der Grundgedanke der neuen Methode besteht darin, dass man für die Variationen \(\delta y_k (k=1,2,\dots,n)\) setzt: \[ \delta y_k = \alpha_{k,0} z +\frac {d(\alpha_{k,1}z)}{dx} +\frac {d^2(\alpha_{k,2}z)}{dx^2} +\cdots+ \frac {d^s(\alpha_{k,s}z)}{dx^s}, \] wobei \(s\leqq m/ (n-m)\) zu wählen ist, und die Hülfsfunctionen \(\alpha\) so bestimmt, dass die \(m\) variirten Bedingungsgleichungen befriedigt werden und zugleich die Variation des gegebenen Integrales zum Verschwinden gebracht wird. Man findet, dass es \(m(s+2)\) Functionen \(\lambda\) geben muss, welche \(n\) Systemen von \(s+1\) Gleichungen genügen. Durch Differentiation gewisser dieser Gleichungen und Combination mit gewissen anderen lässt sich dann die Uebereinstimmung der gefundenen Lösungen mit den nach der Lagrange’schen Methode erhaltenen zeigen.
Während Mayer die Richtigkeit der Lagrange’schen Methode auf directem Wege nachweist, bedient sich der Verf. der vorliegenden Abhandlung einer neuen, von der Lagrange’schen unabhängigen Methode, welche zu Lösungen desselben Problems führt. Während bei der Lagrange’schen Methode, wie der Verf. zeigt, freier variirt wird, als eigentlich erlaubt ist, so dass also richtige Lösungen entschlüpfen können, schränkt er bei seiner Methode die Variationen mehr als nötig ein. Dadurch tritt die Möglichkeit ein, dass sich Lösungen des Problems ergeben können, welche bei geringerer Einschränkung der Variationen wegfallen würden; jedenfalls müssen unter diesen Lösungen die richtigen sich befinden. Schliesslich beweist der Verf., dass die nach seiner Methode erhaltenen Lösungen mit den nach der Lagrange’schen Methode gefundenen identisch sind.
Der Grundgedanke der neuen Methode besteht darin, dass man für die Variationen \(\delta y_k (k=1,2,\dots,n)\) setzt: \[ \delta y_k = \alpha_{k,0} z +\frac {d(\alpha_{k,1}z)}{dx} +\frac {d^2(\alpha_{k,2}z)}{dx^2} +\cdots+ \frac {d^s(\alpha_{k,s}z)}{dx^s}, \] wobei \(s\leqq m/ (n-m)\) zu wählen ist, und die Hülfsfunctionen \(\alpha\) so bestimmt, dass die \(m\) variirten Bedingungsgleichungen befriedigt werden und zugleich die Variation des gegebenen Integrales zum Verschwinden gebracht wird. Man findet, dass es \(m(s+2)\) Functionen \(\lambda\) geben muss, welche \(n\) Systemen von \(s+1\) Gleichungen genügen. Durch Differentiation gewisser dieser Gleichungen und Combination mit gewissen anderen lässt sich dann die Uebereinstimmung der gefundenen Lösungen mit den nach der Lagrange’schen Methode erhaltenen zeigen.
Reviewer: Haussner, Prof. (Giessen)
MSC:
| 49K15 | Optimality conditions for problems involving ordinary differential equations |
Keywords:
Lagrange multiplyer ruleCitations:
JFM 17.0357.01References:
| [1] | Indessen müssen wir A. Mayer’s ?Begründung der Lagrange’schen Multiplicatorenmethode in der Variationsrechnung? Math. Ann. Bd. 26, S.74 (1886) ausnehmen. Seine völlig befriedigende Begründung war uns unbekannt als wir, von der Unzulänglichkeit der gewöhnlichen Behandlungsweise der Lagrange’schen Methode überzeugt, den auch von ihm angestrebten Zweck zu erreichen versuchten. Weil uns das nun auf so ganz verschiedenem Wege gelungen ist, halten wir es nicht für nutzlos, auch unsere Methode der Oeffentlichkeit zu übergeben. So wie wir, hat Mayer erkannt, dass es darauf ankommt, die Bedingung, dass nicht allein dien?m unabhängigen Variationen, sondern auch diem übrigen an den Grenzen Null werden sollen, in Rechnung zu bringen, und er hat das wirklich mittelst seiner Gleichungen (10) und (12) gethan. · JFM 17.0357.01 · doi:10.1007/BF01443570 |
| [2] | Der Gedanke auf diese Weise die Identität der beiden Lösungen zu beweisen, verdanken wir Herrn A. Mayer. Ursprünglich hatten wir einen anderen Weg dazu eingeschlagen. |
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