Die Abhandlung soll die von Hrn. Darboux gefundenen geometrischen Resultate astatischer Probleme ergänzen und erweitern; sie ist als Einleitung gedacht zu einer Reihe von Untersuchungen über den Kräftepol eines beliebigen, auf ein starres Punktsystem einwirkenden Kräftesystems, welche Untersuchungen vom Verf. nach langjähriger Arbeit zum Abschluss gebracht sind und demnächst veröffentlicht werden sollen. In der vorliegenden Abhandlung findet man vorwiegend die Eigenschaften und gegenseitigen beziehungen der Flächen zweiter Ordnung: \[ \begin{aligned} &a_{11}x^2+ a_{22}y^2+ a_{33}z^2+ 2a_{23}yz+ 2a_{31}zx+ 2a_{12}xy = C,\\ &A_{11}x^2+ A_{22}y^2+ A_{33}z^2+ 2A_{23}yz+ 2A_{31}zx+ 2A_{12}xy = \frac{\varDelta}{C},\\ &(a_{11}x+ a_{21}y+ a_{31}z)^2+ (a_{12}x+ a_{22}y+ a_{23}z)^2+ (a_{13}x+ a_{23}y+ a_{33}z)^2 = C^2,\\ &(a_{11}x+ a_{12}y+ a_{13}z)^2+ (a_{21}x+ a_{22}y+ a_{23}z)^2= C^2,\\ &(A_{11}x+ A_{21}y+ A_{31}z)^2+ (A_{12}x+ A_{22}y+ A_{32}z)^2+ (A_{13}x+ A_{23}y+ A_{33}z)^2= \frac{\varDelta^2}{C^2},\\ &(A_{11}x+ A_{12}y+ A_{13}z)^2+ (A_{21}x+ A_{22}y+ A_{23}z)^2+ (A_{31}x+ A_{32}y+ A_{33}z)^2= \frac{\varDelta^2}{C^2}. \end{aligned} \] hierin bedeuten \(a_{mn}\) gegebene Constanten, \(\varDelta\) die Determinante aus ihnen, \(A_{mn}\) die den \(a_{mn}\) adjungirten Subdeterminaten. Die gewonnenen Resultate werden auf die Bestimmung der Richtungen der Seitenkräfte der auf drei gegebene, orthogonale, astatische Arme reducirten Kräftepaare für ein beliebiges Kräftesystem und einen willkürlichen Reductionspunkt angewandt, ferner auf die Bestimmung der Lage des Centralpunktes und der Centralebene dieses Kräftesystems, der Richtungen und Grössen der “Halbaxen des Darboux’schen astatischen Hauptcentralellipsoids, der Lagen der Möbius’schen Gleichgewichtsaxen u. s. w. Gelegentlich findet man neben einer abweichenden Herleitung ein neues Resultat oder die Berichtigung einer Aussage bei einem früheren Bearbeiter.