Diese beiden Arbeiten, von welchen die erste (in etwas veränderter Form, siehe JFM 19.0781.02) von der Pariser Akademie der Wissenschaften mit einer ehrenvollen Erwähnung, die zweite mit dem “grand prix” ausgezeichnet wurde, gewinnen der Theorie der regelmässigen Polyeder, welche in neuerer Zeit verschiedentlich in den Vordergrund des Interesses gerückt worden ist, eine neue interessante Seite ab, indem sie dieselbe zur allgemeinen Theorie der Oberflächen in Beziehung setzen. Da der von Lecornu behandelte Gegenstand auch einen Teil der Goursat’schen Arbeit ausfüllt, so ist eine gemeinsame Besprechung am Platze, bei welcher die Lecornu’sche Arbeit vorangehen mag.
Sollen diejenigen Oberflächen bestimmt werden, deren Symmetrieebenen mit denjenigen der regelmässigen Körper übereinstimmen, so kann man zunächst, unabhängig von der Zahl und Anordnung dieser Ebenen, nach der Form der Gleichung fragen, welcher eine derartige Oberfläche entsprechen wird. Diese allgemeine Untersuchung bildet den ersten Teil von Hrn. Lecornu’s Arbeit. Die Leichtigkeit, mit der ein regelmässiger Körper auf das rechtwinklige Coordinatensystem bezogen werden kann, macht dasselbe zu einem natürlichen Hülfsmittel der Untersuchung und gestattet ohne erhebliche Complication der Gleichungen ein ungewöhnlich tiefes Eindringen in die Theorie der hier behandelten Flächen; tetraedrische Coordinaten werden nur gelegentlich verwendet. Von fundamentaler Bedeutung ist zunächst der Satz, dass, wenn drei algebraische Flächen: \(L\) = const., \(M\) = const., \(N\) = const. gerade soviel gemeinsame Punkte haben, als zur Herstellung der Symmetrie erforderlich ist, jede einzelne symmetrische algebraische Fläche als ganze Function von \(L\), \(M\), \(N\) dargestellt werden kann. Es kommt nun darauf an, drei solche Functionen \(L\), \(M\), \(N\) (symmetrische Elemente) in möglichst einfacher Weise zu bestimmen. Der Verfasser setzt \(L=x^2+y^2+z^2\), und für \(M\) und \(N\) das Product der Abstände eines beliebigen Punktes von den Ebenen eines auf die beiden einfachsten Arten zu wählenden symmetrischen Systems. Sind \(m\) und \(n\) die Grade der Functionen \(M\) und \(N\), so ist alsdann die Zahl der Symmetrieebenen des zu Grunde gelegten regelmässigen Körpers gleich \(m+n-1\). Die symmetrischen Flächen werden elementar genannt, wenn ihre Gleichung nur das Element \(M\), binär, wenn sie die Elemente \(L\) und \(M\) enthält. Von diesen Flächen werden verschiedene allgemeine Eigenschaften bewiesen, namentlich werden Schnitte einer Elementarfläche mit einer Central-Kugel (sphärosymmetrische Curven) genauer untersucht; unter den binären Flächen werden einige besonders einfache specielle Arten näher betrachtet. – Während nun die bisherigen Resultate von der Anzahl und Lage der symmetrischen Ebenen unabhängig waren, werden jetzt drei Typen solcher Systeme und der ihnen entsprechenden Oberflächen aufgestellt und einzeln behandelt. Der erste Typus geht aus dem Tetraeder hervor, der zweite gleichmässig aus Oktaeder und Hexaeder, der dritte ebenso aus Ikosaeder und Dodekaeder. – Der tetraedrische Typus ist charakterisirt durch 6 Symmetrieebenen (Ebenen durch Kanten und Mittelpunkt des Tetraeders). Coordinatenaxen sind die Verbindungslinien der Kantenmitten. Es wird gesetzt \[ M=xyz,\quad N=-(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z). \] Die allgemeine Gleichung der hierher gehörigen Symmetrieflächen lautet in der bemerkenswertesten Form: \[ \varphi(x^2+y^2+z^2,\;x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=0. \] Als specielles Beispiel wird die kubische Fläche \[ xyz+\text{A}(x^2+y^2+z^2)+B=0 \] betrachtet, welche sich als Ort der Punkte erweist, für welche die Summe der Kuben ihrer Abstände von den Flächen eines Tetraeders constant ist. Bei dieser und anderen noch mehr specialisirten Formen der Gleichung bieten sich zahlreiche Berührungspunkte mit den Untersuchungen anderer Geometer. Beim kubo-oktaedrischen Typus finden sich neun Symmetrieebenen (die sechs Diagonalebenen des Würfels und die drei den Seitenflächen parallelen Centralschnitte, welche letztere als Coordinatenebenen dienen). Hier liefert jede Gleichung von der Form \(\varphi(x^2,y^2,z^2)=0\) eine symmetrische Fläche. Nach Analogie mit dem vorhergehenden Falle wird aber \[ M=x^2y^2z^2,\quad N=x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2 \] gesetzt, woraus in Verbindung mit \(\varphi(L, M, N)=0\) die Gleichung der biquadratischen Symmetriefläche folgt. Dieselbe wird wieder eingehend untersucht, u. a. ihre Beziehung zu der aus der Substitution \(x^2 = X\), \(y^2=Y\), \(z^2=Z\) sich ergebenden quadratischen Rotationsfläche festgestellt, und die Lage ihrer Knotenpunkte und ihrer (den Kanten des Kubo-oktaeders entsprechenden) 24 reellen Geraden ermittelt. Specielle Formen dieser Fläche sind die “pseudosphärische” Fläche \(x^4 + y^4+z^4=1\) und die Fläche \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{a^2}\), welche den Ort des Schwerpunkts eines Dreiecks darstellt, in dessen Ecken die Tangentenebene einer Kugel von den Verlängerungen dreier auf einander senkrechten Durchmesser geschnitten wird. – Der ikosi-dodekaedrische Typus besitzt 15 Symmetrieebenen, welche durch je zwei parallele Kanten des Dodekaeders gehen. Hier ist \((\frac 12 (\sqrt 5-1) = \lambda\) gesetzt): \[ \begin{aligned} & M=(z^2-\lambda^2y^2)(x^2-\lambda^2z^2)(y^2-\lambda^2x^2),\\ & N=(y^2-\lambda^4x^2)(z^2-\lambda^4x^2)(x^2-\lambda^4y^2) \times (x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2). \end{aligned} \] Im übrigen wird die Untersuchung der Symmetriefläche, die den sechsten Grad besitzt, analog wie oben ausgeführt. Die Goursat’sche Arbeit zerfällt in drei Abteilungen. Die erste derselben deckt sich im wesentlichen mit der Arbeit Lecornu’s. Sie kommt zu denselben Hauptresultaten wie jene und weicht nur in der Wahl der specieller behandelten Probleme von ihr ab. Neben den Symmetrieebenen der regelmässigen Körper zieht Hr. Goursat auch die der regelmässigen Pyramide und Doppelpyramide in Betracht, macht alsbald Gebrauch von den Coordinaten \(s = x + iy\), \(s_0 = x-iy\), bestimmt die Tangentialgleichung einer Symmetriefläche von gegebenem Grade, geht näher auf die Flächen dritter und vierter Ordnung mit kubo-oktaedrischer Symmetrie ein und untersucht ausführlich die in den letzteren enthaltenen Geraden und Doppelpunkte. Von den Flächen mit tetraedrischer Symmetrie werden diejenigen mit Doppelpunkten, von denen mit dodekaedrischer Symmetrie die Flächen sechsten Grades hervorgehoben. – Die zweite Abteilung beschäftigt sich mit der Aufsuchung der symmetrischen Minimalflächen. Ist \(M\) ein Punkt der Fläche \(\varSigma\), \(m\) (mit den Coordinaten \(s\) und \(s_0\)) sein Bild auf einer Kugelfläche, so entsteht zunächst von jeder durch \(M\) auf \(\varSigma\) beschriebenen Curve ein sphärisches Bild auf der Kugelfläche durch den Bildpunkt \(m\). Auf diese Weise wird eine Minimalcurve durch eine “charakteristische Function” \(F(s)\) einer “charakteristischen Variablen” \(s=-\frac{dx}{dz}-i\, \frac{dy}{dz}\) dargestellt. Aus dieser Minimalcurve wird durch Bewegung eines ihrer Punkte längs einer andern Minimalcurve eine Minimalfläche erzeugt, und aus der charakteristischen Function der ersteren Curve mittels der von Hrn. Lie gegebenen Formeln die charakteristische Function für die bewegte Curve bestimmt. Somit gelingt die Darstellung der Coordinaten eines reellen Punktes einer Minimalfläche durch Functionen von \(F(s)\) und die conforme Abbildung der Fläche auf der Kugel. Nunmehr wird der Minimalfläche die Bedingung der Symmetrie auferlegt, wobei sich ans den Transformationen, welche die Fläche in sich selbst überführen, Beziehungen zu den Klein’schen Untersuchungen über das Ikosaeder ergeben. Hierbei sind zwei Arten von Symmetrie zu unterscheiden. Entweder nämlich entsprechen zwei symmetrisch zu einer Ebene gelegenen Kugelpunkten zwei symmetrisch gelegene Flächenpunkte, oder zwei zur Axe \(OY\) symmetrisch gelegenen Kugelpunkten entsprechen zwei symmetrisch zur Ebene \(xz\) gelegene Punkte der Fläche. Die erzeugende Minimalcurve \(C\) muss dann die Eigenschaft haben, dass ihr symmetrisches Gegenbild in Bezug auf eine beliebige Symmetrieebene entweder mit ihr selbst oder mit der ihr conjugirten \(C_0\) zusammenfällt. Die Curven \(C\) und \(C_0\) und die Function \(F(s)\) werden für die Symmetrie jedes Polyeders besonders bestimmt. Die für die beiden oben erwähnten Arten der Symmetrie aufgestellten Bedingungen \(F_0(s) = F(s)\), bezw. \(-s^2F \left( -\frac 1s \right) = F(s) \) sind für alle algebraischen symmetrischen Minimalflächen hinreichend, genügen aber, einen Ausnahmefall abgerechnet, nicht für die transcendenten. Für diese lässt sich eine “Pseudosymmetrie” genannte Eigenschaft definiren, die ganz analog der Symmetrie untersucht werden kann. Von speciellen Arten der Minimalflächen werden u. a. noch diejenigen näher betrachtet, welche geodätische Linien enthalten; endlich wird auch hier die Symmetrie in Bezug auf eine Doppelpyramide untersucht. – In der dritten Abteilung wird die Aufgabe, die allgemeinste Form der Gleichung einer symmetrischen Fläche zu finden, vom Standpunkte der Functionentheorie behandelt. Es folgen Untersuchungen über einige sphärische Curven. Dann wird die Theorie der tetraedrischen und kubo-oktaedrischen Symmetrie auf das \(n\)-dimensionale Gebiet ausgedehnt und speciell der Fall \(n = 4\) betrachtet. Schliesslich wird auf eine andere Verallgemeinerung der Theorie hingewiesen, betreffs der Oberflächen, die, ohne die Symmetrie eines regelmässigen Polyeders zu haben, durch alle ein regelmässiges Polyeder in sich selbst überführenden Rotationen ebenfalls in sich selbst übergeführt werden.