Der Untersuchung liegt die folgende Fragestellung zu Grunde: Sind \(f_0,f_1,\dots,f_d\) gegebene ganze Functionen von dem \(m^{\text{ten}}\) Grade in der Variabeln \(\lambda\), so soll man alle ganzen Functionen \(u_0,u_1,\dots,u_d\) der Parameter \(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n\) bestimmen, für welche der Ausdruck \[ u_0f_0+u_1f_1+\cdots+u_df_d \] einen in \(\lambda\) linearen Teiler besitzt (§I). Dieses Problem wird schrittweise auf das einfachere zurückgeführt: alle solchen Functionen \(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_d\) der einen Variabeln \(\mu\) zu finden, für welche der Ausdruck \[ \varphi_0(\mu)f_0(\lambda)+\varphi_1(\mu)f_1(\lambda)+\cdots+\varphi_d(\mu)f_d(\lambda) \] den speciellen Teiler \(\lambda-\mu\) zulässt (§II). Die letztere Aufgabe ist offenbar gelöst, sobald man alle ganzen Functionen \(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_d\) der Variabeln \(\lambda\) kennt, welche der Identität \[ \varphi_0(\lambda)f_0(\lambda)+\varphi_1(\lambda)f_1(\lambda)+\cdots+\varphi_d(\lambda)f_d(\lambda)=0 \] genügen. Der Verfasser postulirt nunmehr die Existenz eines Systems von \(d\) fundamentalen Identitäten \[ F^{(1)}\equiv\varphi^{(1)}_0(\lambda)f_0(\lambda)+\varphi^{(1)}_1(\lambda)f_1(\lambda)+\cdots+\varphi^{(1)}_d(\lambda)f_d(\lambda)=0, \]
\[ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \]
\[ F^{(d)}\equiv\varphi^{(d)}_0(\lambda)f_0(\lambda)+\varphi^{(d)}_1(\lambda)f_1(\lambda)+\cdots+\varphi^{(d)}_d(\lambda)f_d(\lambda)=0, \] welches die Eigenschaft besitzt, dass zwischen den linken Seiten keine Relation von der Gestalt \[ \alpha^{(1)}F^{(1)}+\alpha^{(2)}F^{(2)}+\cdots+\alpha^{(d)}F^{(d)}=0 \] stattfindet, wo \(\alpha^{(1)},\alpha^{(2)},\dots,\alpha^{(d)}\) ganze Functionen von \(\lambda\) sind, und dass ferner \[ \nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(d)}=m \] wird, wo allgemein \(\nu^{(i)}\) den gemeinsamen Grad der Functionen \(\varphi^{(i)}_0,\varphi^{(i)}_1,\dots,\varphi^{(i)}_d\) bezeichnet. Mit Hülfe dieses Postulates ergiebt sich leicht, dass ein jedes System von gesuchten Functionen \(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_d\) sich in die Gestalt \[ \varphi_i=\alpha^{(1)}\varphi^{(1)}_i+\alpha^{(2)}\varphi^{(2)}_i+\cdots+ \alpha^{(d)}\varphi^{(d)}_i\qquad (i=0,1,\dots,d) \] bringen lässt, wo \(\alpha^{(1)},\alpha^{(2)},\dots,\alpha^{(d)}\) ganze Functionen von \(\lambda\) sind. In Folge dieser Thatsache ist insbesondere eine genaue Abzählung der Mannigfaltigkeit der Lösungen obiger Identität möglich (§III). Die weiteren Entwickelungen greifen auf das ursprüngliche Problem zurück und ziehen auch den Fall in Betracht, in welchem zwischen den Parametern \(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n\) beliebige algebraische Relationen stattfinden (§IV-§V). Zur Erläuterung dient der Fall zweier Variabeln, wo sich die Mannigfaltigkeitszahl der Lösungen in zwei unter gewissen Bedingungen zusammenfallende Grenzen einschliessen lässt (§VI). Zum Schlusse dieses Abschnittes grenzt der Verfasser den Gültigkeitsbereich der angegebenen Methoden ab und erörtert zugleich die Schwierigkeiten, welche eintreten, wenn man verlangt, dass der Ausdruck \[ u_0f_0+u_1f_1+\cdots+u_nf_n \] einen Teiler von höherem Grade in \(\lambda\) besitzt (§VII).
Ein zweiter Abschnitt behandelt speciell den dreigliedrigen Ausdruck \[ u_0f_0(\lambda)+u_1f_1(\lambda)+u_2f_2(\lambda). \] Der Verfasser discutirt der Reihe mach die Fälle \(m=2,3,\dots,9\) und findet für dieselben in der That das obige Postulat zutreffend. Zur wirklichen Aufstellung der fundamentalen Identitäten dient ein Verfahren, welches zugleich zeigt, dass der eigentliche Kern des behandelten Problems der Theorie der Combinanten mit mehreren binären cogredienten Variabelnreihen angehört. Zum Schlusse finden die gewonnenen Resultate eine geometrische Deutung.