In der Einleitung giebt Lie zunächst einen Ueberblick über seine früheren bis 1869 zurückgehenden Untersuchungen über Differentialgleichungen, welche bekannte endliche continuirliche Gruppen gestatten; sodann stellt er die wichtigsten Begriffe und Bezeichnungen aus seiner Gruppentheorie zusammen. (§. 71-77).
In §1 (S. 78-83) wird das Problem behandelt, ein vollständiges System zu integriren welches bekannte infinitesimale Transformationen gestattet. Dieses Problem wird auf das andere zurückgeführt, ein \(q\)-gliedriges vollständiges System in \(n\) Veränderlichen zu integriren , welches eine \((n-q)\)-gliedrige Gruppe mit bekannten infinitesimalen Transformationen gestattet. Diese Gruppe kann überdies jede charakteristische Mannigfaltigkeit des vollständigen Systems in jede andere überführen. Ausserdem giebt Herr Lie Vorschriften, Resolventen dieses reducirten Integrationsproblems herzustellen. Das entsprechende Problem in der Algebra ist die Auflösung einer Gleichung, deren Galois’sche Grupp einfach transitiv ist, die also ihre eigene Galois’sche Resolvente ist.
In §2 (S. 83-89) wird entwickelt, welchen Vorteil man durch Auflösung einer Resolvente für das zu behandelnde Integrationsproblem hat. Ganz analog damit ist die Frage: wie weit wird die Galois’sche Gruppe einer Gleichung reducirt, wenn man alle Wurzeln einer Resolvente dieser Gleichung adjungirt. Das Ergebnis ist beide Male dasselbe. Ueberhaupt hängt die Ordnung der Resolventen des Integrationsproblems gerade so wie bei dem algebraischen Probleme nur von der Zusammensetzung der zugehörigen Gruppe ab. Die Ordnung der niedrigsten erforderlichen Resolventen kann daher bei dem Integrationsproblem durch algebraische Operationen gefunden werden.
§3 (S. 90-96) Allgemeines über infinitesinimale Berührungstransformationen und Gruppen von Berührungstransformationen. Zu jeder \(r\)-gliedrigen Gruppe lässt sich eine holoedrisch isomorphe lineare homogene Gruppe angeben.
§4 (S. 96-107). Wann sind zwei \(r\)-gliedrige Gruppen in gleich vielen Veränderlichen ähnlich, das heisst: wann geht die eine bei Einführung geeigneter Veränderlichebn in die andere über? Ob ja oder nein, lässt sich ohne Integraton entscheiden, auch wenn nur die infinitesimalen Transformationen beider Gruppen bekannt sind.
§5 (S. 107-115). Ist \(G_n\), eine einfach transitive Gruppe des \(R_n\), so bildet der Inbegriff aller Transformationen des \(R_n\), welche mit allen Transformationen der \(G_n\) vertauschbar sind, eine mit der \(G_n\) ähnliche einfach transitive Gruppe. (Aehnlich in der Substitutionentheorie.) Anwendung hiervon auf ein besonderes Integrationsproblem.
§6 (S. 115-120). Hier beschäftigt sich Herr Lie mit Systemen partieller Differentialgleichungen beliebiger Ordnung, aus welchen \(x,y,z,\dots\) als Functionen von \(x,y,z,\dots\) bestimmt werden sollen. Er setzt voraus, dass die allgemeinsten Lösungen \(x',y',z',\dots\) dieser Differentialgleichungen aus beliebigen particulären Lösungen \(x,y,z,\dots\) durch bekannte Substitutionen von der Form \[ x'=M(x,y,z,\dots,\text{x,y,z},\dots,a_1,a_2,\dots,a_r),\quad y'=N,\quad z'=P,\dots \] mit den \(r\) Parametern \(a_1,\dots,a_r\) erhalten werden, und dass diese Gleichungen zusammen mit \(\text{x}'=\text{x}\), \(\text{y}'=\text{y}\), \(\text{z}'=\text{z},\dots\) eine \(r\)-gliedrige Gruppe in den Veränderlichen \( x,y,z,\dots,\text{x,y,z},\dots\) darstellen. Dieses Integrationsproblem wird auf die Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in \(r+1\) Veränderlichen zurückgeführt, welche überdies eine bekannte Gruppe gestattet.
§7(S. 120-124). Anwendung hiervon auf den besonderen Fall, dass die betreffenden Differentialgleichungcn die Definitionsgleichungen einer \(r\)-gliedrigen Gruppe sind (vgl. Klein Ann. XXIV. S. 553) und dass man die infinitesimalen Transformationen einer Gruppe kennt, welche mit der gesuchten ähnlich ist.
§8 (S. 124-130). Anwendung der vorhergehenden Theorie auf eine umfangreiche Klasse von Differentialgleichungen.
§9 (S. 130-136). Allgemeine Sätze über endliche continuirliche Gruppen. Wichtig sind besonders die folgenden: Eine einfache Gruppe, deren grösste Untergruppe mehr als \(r-4\) Parameter enthält, hat entweder 3, oder 8, oder 15, oder 10 Parameter und ist bezüglich holoedrisch isomorph mit den allgemeinen projectiven Gruppen der einfachen Mannigfaltigkeit, der Ebene, des \(R_3\), des linearen Complexes im \(R_3\).
§10 (S. 136-147). Das Problem der §§1 und 2 wird wieder aufgenommen für den Fall einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung, die eine Gruppe mit bekannten endlichen Transformationen gestattet. Ist die Gruppe nicht einfach, so kann das Integrationsproblem in eine Reihe nacheinander zu erledigender Probleme zerlegt werden. Ist die Gruppe einfach, so kann die Differentialgleichung auf eine von der Beschaffenheit der Gruppe abhängende Normalform gebracht werden.
§11 (S. 147-149). Das Problem des vorigen §, nur dass die endlichen Transformationen der Gruppe unbekannt sind; dasselbe wird auf den Fall zurückgeführt, wo die endlichen Transformationen bekannt sind.
§12 (S. 149-151). Die Integration der Definitionsgleichungen einer endlichen continuirlichen Gruppe wird direct auf die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückgeführt, ohne Benutzung der in §7 gemachten Voraussetzung.