Es sei \(x= \varepsilon_1(x),\varepsilon_2(x),\dots,\varepsilon_n(x) \dots\) eine Folge von Functionen, welche der Relation \[ \varepsilon_{\alpha}[\varepsilon_{\beta}(x)]= \varepsilon_{\alpha\beta}(x) \] genügen. Ist ferner \[ (1) \quad \text{G}(x)= \sum^{n= \infty}_{n=1} g(n)f[\varepsilon_n(x)] \] und \[ F(n)= h(a)g \left( \frac na \right) +h(b)g \left( \frac nb \right)+\cdots, \] wo \(a,b, \dots\) sämtliche Teiler von \(n\) bedeuten, so hat man \[ (2) \quad \sum^{n= \infty}_{n=1} h(n)G[ \varepsilon_n(x)]= \sum^{n= \infty}_{n=1} F(n) f[ \varepsilon_n(x)]. \] Wenn die Function \(g(x)\) die Bedingung \[ (3)\quad g(x)g(y)= g(xy) \] erfüllt und \(h(x)= g(x)\mu(x)\) ist, wo \(\mu(x)\) die von Herrn Mertens eingeführte Function bezeichnet (vgl. Borchardt J. LXXVII. 289), so ist \(F(1)= g(1)^2\), sonst aber \(F(n)= 0\). Man findet demnach aus (2) als Umkehrung der Reihe (1) \[ f(x)= \sum^{n= \infty}_{n=1} g(n) \mu(n) G[\varepsilon_n (x))]. \] Aus dieser Formel ergeben sich, wenn man \(\varepsilon_n(x)= nx\) setzt und für \(g(x)\) einen der Ausdrücke \[ 1,\;\tfrac 12[1-(-1)^x],\;\sin{} \frac{\pi x}{2} \] wählt, drei von Tschebyscheff im J. von Liouville (1851) aufge-stellte Formeln. Sie werden auf die Fourier’schen Reihen angewandt. Ferner kann man \(f(x)= q^x\) (mod.\(q < 1\)) oder allgemeiner \(f(x)= q^x \psi(x)\), wo \(\psi(x)\) ebenfalls der Relation (3) genügen soll, setzen. Als Beispiel der auf diese Art erzielten Resultate sei angeführt die Formel \[ \sigma_m= \sum^{n= \infty}_{n=1}\;\frac{\mu (n)}{n}\;\log s_{nm}, \] worin \(s_m\) die Summe der reciproken \(m^{\text{ten}}\) Potenzen aller natürlichen, \(\sigma_m\) die der reciproken \(m^{\text{ten}}\) Potenzen aller Primzahlen bedeutet.
Herr Cesaro nimmt für \(\varepsilon (x)\) auch die Functionen \[ \frac xn,\;x^n, \;\frac {xU(n)}{1-xV(n)}\,, \] worin \(U(n)\) und \(V(n)\) passend zu bestimmen sind. Um die Reihe (1) umzukehren, kann man \(g(n)\) und \(h(n)\) auch folgendermassen bestimmen. Wir zerlegen \(n\) in seine Primfactoren \[ n= u^{\alpha} v^{\beta} w^{\gamma} \dots \] und setzen \[ g(n)= (-1)^{\alpha + \beta + \gamma +\cdots}\;\frac {(\alpha + \beta + \gamma +\cdots)!}{\alpha ! \beta ! \gamma ! \dots}. \] \(g(1)\) sei 1 und \(h(n)\) 1 oder 0, je nachdem \(n\) Primzahl ist oder nicht.
Am Schlusse wird in der Formel (2) \(h(n)\) sowohl durch \(g(n)\nu(n)\), als auch durch \(g(n)\lambda(n)\) ersetzt. \(\nu(n)\) ist 0, ausser wenn \(n\) Potenz einer Primzahl \(\varpi\) ist; dann sei \(\nu(n)= \log \varpi\). \(\lambda(n)\) ist \(+1\) oder \(-1\), je nachdem \(n\) in eine gerade oder ungerade Anzahl von Primfactoren zerfällt.