Eine umfassende historische und kritische Zusammenstellung aller bezüglichen Arbeiten bis zum Jahre 1883. Es wird zunächst das vorhandene Material übersichtlich geordnet und (zur Bequemlichkeit des Lesers in möglichst einheitlicher Bezeichnung) vollständig dargestellt; sodann folgt die Charakteristik der einzelnen Beweise und die genauere Vergleichung der dabei in Frage kommenden Principien.
Der erste Teil gibt die “Darstellung der Beweise für das quadratische Reciprocitätsgesetz”.
I. Capitel. Vorarbeiten von Fermat bis Legendre. Bachet de Maziriac, Fermat (1658), Frenicle (1641) als Vorläufer. Erste Formulirungen des Gesetzes durch Euler (1783) und Legendre (1785). Jacobi’s Verallgemeinerumg des Legendre’schen Symbols.
II. Capitel. Gauss’ Beweis durch vollständige Induction in der von Dirichlet gegebenen Form dargestellt.
III. Capitel. Beweise durch Reduction: 1. Gauss’ dritter Beweis. 2. Gauss’ fünfter Beweis. 3. Eisenstein’s geometrischer Beweis (Crelle 28). 4. Beweis von Genocchi (Mém. des. sav. étr. XXV, 1852). 5. Beweis von Stern (Gött. Nachr. 1870). 6. Beweis von Zeller (Berl. Ber. 1872). 7. Beweis von Kronecker (Berl. Ber. 1876). 8. Beweis von Buniakoffsky (Bull. de St. Petersb. Bd. 22, 1876). 9. Beweis von Schering (Gött. Nachr. 1879, C. R. Bd. 88). 10. Beweis von Petersen (Am. J. Math. 2, 1879, Zeuthen T. 1879). 11. Beweis von Voigt (Schlömilch 26, 1881). 12. Beweis von Busche (Göttingen Dissertation 1883).
IV. Capitel. Eisenstein’s Beweis durch functionentheoretische Sätze (Crelle 29, 1845).
V. Capitel. Beweise durch Sätze aus der Lehre von der Kreisteilung: 1. Beweis von Gauss und Lebesgue (C. R. 51). 2. Gauss’ vierter Beweis. 3. Gauss’ sechster Beweis. 4. Beweis von Cauchy-Jacobi-Eisenstein (Bull. de Férussac 12, 1829; Mém. de l’Inst. 18, 451; Crelle 28, 1844). 5. Zweiter Beweis von Eisenstein (Crelle 27, 1844). 6. Beweis von Liouville (C. R. 24, 1847). 7. Erster Beweis von Lebesgue (Liouville J. 12, 1847).
VI. Capitel. Beweise durch Sätze aus der Theorie der quadratischen Formen: 1. Gauss’ zweiter Beweis. 2. Kummer’s erster Beweis, und : 3. Kummer’s zweiter Beweis (beide in den Abh. d. Berl. Akad. 1861).
VII. Capitel. Die Ergänzungssätze des quadratischen Reciprocitätsgesetzes und das verallgemeinerte Reciprocitätsgesetz. Auch für die Ergänzungssätze \[ (\text I)\quad \left( \frac {-1}{p} \right) = (-1)^{\frac {p - 1}{2}} \quad \text{und} \quad (\text {II} )\quad \left( \frac {2}{p} \right) = (-1)^{\frac {p^2 - 1}{8}} \] werden alle obigen Beweisformen vorgeführt. 1. Beweis für Formel (I) durch “verwandte Reste” (Euler), für Formel (II) durch vollständige Induction (Gauss). 2. Beweis der Ergänzungssätze durch Reduction (Petersen). 3. Mit Hülfe der Theorie der quadratischen Formen (Gauss).
In Betreff des verallgemeinerten Reciprocitätsgesetzes werden Arbeiten von Schering, Kronecker und Genocchi erwähnt, welche eine Verallgemeinerung des Gauss’schen \(\mu\) Lemmas geben, bezw. verwerten.
VIII. Capitel. Algorithmen zur Bestimmung des quadratischen rest- oder Nichtrestcharakters einer Zahl in Bezug auf eine andere: 1. Metode von Gauss; 2. Algorithmus von Eisenstein (Crelle 27, 1844), Lebesgue (Liouv. J. 12, 1847); 3. Die Algorithmen von Gegenbauer (Wiener Ber. 1880); 4. Ein Algorithmus von Kronecker (Berl. Ber. 1884).
Der zweite Teil enthält sodann eine genaue Analyse der obigen Beweisen zu Grunde liegenden Principien in fünf Capiteln, welche den Capiteln II bis V des ersten Teils entsprechen, und deren Grundgedanken also durch die oben angeführten Ueberschriften im allgemeinen bezeichnet sind. die Bedeutung des Beweises durch vollständige Induction, “der nirgend das Gebiet der Congruenzen zweiten Grades verlässt”, wird gebührend hervorgehoben. Die zwölf “Beweise durch Reduction” werden in ihren Berührungspunkten und ihren Unterschieden genau gepr\"ft. Die analytischen Voraussetzungen und Grundlagen für Eisenstein’s Beweis durch functionentheoretische Sätze, wie auch der Beweise mit Hülfe von Sätzen aus der Theorie der Kreisteilung finden sich in möglichster Vollständigkeit angeführt, besonders die Geschichte der “Summe von Gauss” in ihrer Einzelwendung verfolgt.
Die Schlussbemerkungen geben ein chronologisches Verzeichnis der 25 Beweise und im Anschluss daran Erörterungen über die Art des Eingreifens der einzelnen Forscher in die Entwicklungsgeschichte dieser Theorien.