Eine Function \(F\) von \(p\) Variabeln \(x_1,x_2,\dots,x_p\) besitzt die Periode \((a_1,a_2,\dots,a_p)\), wenn für alle Werte der Variabeln die Gleichung \[ F(x_1,x_2,\dots,x_p)= F(x_1+a_1,x_2+a_2,\dots,x_p+a_n) \] besteht. Zur Abkürzung möge eine Periode “einfach” heissen, wenn die sie constituirenden Grössen \(a_1, a_2, \dots, a_p\) sämtlich gleich Null und mit Ausnahme einer einzigen, welche den Wert 1 besitzt. Es lässt sich dann der Satz, dessen Aufstellung und Begründung den hauptsächlichsten Inhalt der vorliegenden Abhandlung bildet, folgendermassen aussprechen: “Jede eindeutige gleichmässig stetige Function von \(p\) reellen Variabeln, welche eine bestimmte Zahl von reellen Perioden besitzt, geht in eine Function mit lauter einfachen Perioden über, wenn an Stelle der ursprünglichen Variabeln geeignete lineare Verbindungen derselben als neue Variabeln eingeführt werden.” Dabei sind die Coefficienten dieser linearen Verbindungen selber lineare Funtionen mit rationalen Zahlencoefficienten von den Perioden der ursprünglichen Function.
Ein Umstand, welcher hierbei Beachtung verdient, ist der, dass die Function, in welche nach vorstehendem Satze eine beliebige vorgelegte periodische Function transformirt werden kann, häufig von einer geringeren Zahl von Argumenten abhängt, als die ursprüngliche Function. Jedesmal nämlich, wenn eine gleichmässig stetige Function von \(m\) reellen Veränderlichen unendlich kleine Perioden besitzt, lässt sich dieselbe als Function von weniger als \(m\) linearen Verbindungen der Variabeln darstellen.
Zur Feststellung der Existenz unendlich kleiner Perioden dient der Satz, “dass die Werte irgend welcher \(n\) Grössen sich durch rationale Brüche desselben Nenners mit solcher Annäherung darstellen lassen, dass die \(n\) Wertunterschiede, noch mit dem Nenner multiplicirt, beliebig klein werden.”
Dieser bei vielen Untersuchungen wichtige Satz wird in der vorliegenden Abhandlung beiläufig in wenigen Zeilen bewiesen.
Im Schlussparagraphen beweist Herr Kronecker folgenden allgemeinen Satz:
“Eine eindeutige Function von mehreren (reellen oder complexen) Variabeln kann stets durch lineare Transformation in eine solche verwandelt werden, für welche die Anzahl der Periodensysteme, aus denen sich alle der Function angehörigen Periodensysteme linear mit ganzzahligen Coefficienten zusammensetzen lassen, genau gleich der Stufenzahl des aus allen Perioden gebildeten Grössensystems ist.”
Unter der “Stufenzahl” eines Grössensystems \[ a_{ik}\left(\begin{matrix} i=1,2,\dots,p \\ k=1,2,3,\dots \end{matrix}\right) \] ist hier die grösste Zahl \(n\) von der Beschaffenheit zu verstehen, dass nicht sämtliche aus dem Systeme zu bildenden Determinanten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung verschwinden.