Meromorphic projective structures, grafting and the monodromy map. (English) Zbl 1468.30072
Soit \(S\) une surface orientée fermée de genre \(g \geq 2\). Une structure projective complexe marquée sur \(S\) est une structure géométrique modelée sur \(\mathbb{C}\mathbb{P}^{1}\), c’est-à-dire un atlas de cartes vers \(\mathbb{C}\mathbb{P}^{1}\) dont les transitions sont des restrictions d’éléments de \(\operatorname{PSL}_{2}(\mathbb{C})\).
Une telle structure peut être obtenue en fixant une structure projective sur \(S\) et en résolvant l’équation schwarzienne \(u'' + \frac{1}{2}qu=0\) sur \(\tilde S\), où \(q\) est une différentielle quadratique par rapport à la structure projective fixée. L’espace des structures projectives marquées \(\mathcal{P}_{g}\) forme alors un fibré sur l’espace de Teichmüller \(\mathcal{T}_{g}\) qui est affine par rapport au fibré vectoriel \(\mathcal{Q}_{g}\) des différentielles quadratiques. De plus, Thurston a montré que l’on peut obtenir les structures projectives en partant d’une surface hyperbolique et en greffant le long d’une lamination géodésique mesurée. La fonction de greffage ainsi obtenue \(\operatorname{Gr}\colon \mathcal{T}_{g} \times \mathcal{ML} \to \mathcal{P}_{g}\) est un homéomorphisme.
Le but de cet article est de généraliser ce résultat dans le cas où la différentielle quadratique \(q\) possède des pôles d’ordres supérieurs. Plus précisément, on pose \(\mathfrak{n}=(n_{1},\dots,n_{k})\) des entiers supérieurs ou égaux à \(3\). On note \(\mathcal{P}_{g}(\mathfrak{n})\) l’espace des structures projectives méromorphes marquées dont les pôles sont d’ordres \(n_{i}\). On note \(\mathcal{T}_{g}(\mathfrak{n})\) l’espace des surfaces hyperboliques marquées de genre \(g\) avec \(k\) couronnes de types \(n_{i}-2\). On peut de plus généraliser l’espace des laminations géométriques mesurées en prescrivant le comportement aux couronnes. Cet espace est noté \(\mathcal{ML} (\mathfrak{n})\).
Le résultat principal est que tous les éléments de \(\mathcal{P}_{g}(\mathfrak{n})\) peuvent être obtenu en greffant une surface de \(\mathcal{T}_{g}(\mathfrak{n})\) par un élément de \(\mathcal{ML} (\mathfrak{n})\). De plus, la fonction de greffage \(\operatorname{Gr}\colon \mathcal{T}_{g}(\mathfrak{n}) \times \mathcal{ML}(\mathfrak{n}) \to \mathcal{P}_{g}(\mathfrak{n})\) est un homéomorphisme.
De plus, les auteurs étudient la monodromie dans ce contexte et le cas du genre \(0\) en détail.
Une telle structure peut être obtenue en fixant une structure projective sur \(S\) et en résolvant l’équation schwarzienne \(u'' + \frac{1}{2}qu=0\) sur \(\tilde S\), où \(q\) est une différentielle quadratique par rapport à la structure projective fixée. L’espace des structures projectives marquées \(\mathcal{P}_{g}\) forme alors un fibré sur l’espace de Teichmüller \(\mathcal{T}_{g}\) qui est affine par rapport au fibré vectoriel \(\mathcal{Q}_{g}\) des différentielles quadratiques. De plus, Thurston a montré que l’on peut obtenir les structures projectives en partant d’une surface hyperbolique et en greffant le long d’une lamination géodésique mesurée. La fonction de greffage ainsi obtenue \(\operatorname{Gr}\colon \mathcal{T}_{g} \times \mathcal{ML} \to \mathcal{P}_{g}\) est un homéomorphisme.
Le but de cet article est de généraliser ce résultat dans le cas où la différentielle quadratique \(q\) possède des pôles d’ordres supérieurs. Plus précisément, on pose \(\mathfrak{n}=(n_{1},\dots,n_{k})\) des entiers supérieurs ou égaux à \(3\). On note \(\mathcal{P}_{g}(\mathfrak{n})\) l’espace des structures projectives méromorphes marquées dont les pôles sont d’ordres \(n_{i}\). On note \(\mathcal{T}_{g}(\mathfrak{n})\) l’espace des surfaces hyperboliques marquées de genre \(g\) avec \(k\) couronnes de types \(n_{i}-2\). On peut de plus généraliser l’espace des laminations géométriques mesurées en prescrivant le comportement aux couronnes. Cet espace est noté \(\mathcal{ML} (\mathfrak{n})\).
Le résultat principal est que tous les éléments de \(\mathcal{P}_{g}(\mathfrak{n})\) peuvent être obtenu en greffant une surface de \(\mathcal{T}_{g}(\mathfrak{n})\) par un élément de \(\mathcal{ML} (\mathfrak{n})\). De plus, la fonction de greffage \(\operatorname{Gr}\colon \mathcal{T}_{g}(\mathfrak{n}) \times \mathcal{ML}(\mathfrak{n}) \to \mathcal{P}_{g}(\mathfrak{n})\) est un homéomorphisme.
De plus, les auteurs étudient la monodromie dans ce contexte et le cas du genre \(0\) en détail.
Reviewer: Quentin Gendron (Guanajuato)
MSC:
| 30F30 | Differentials on Riemann surfaces |
| 32G15 | Moduli of Riemann surfaces, Teichmüller theory (complex-analytic aspects in several variables) |
| 34M03 | Linear ordinary differential equations and systems in the complex domain |
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