Wenn das Symbol \((Y:Z)\) die Vertauschung der \(Y\)-Componente eines Vectors mit seiner \(Z\)-Componente bedeutet, und \(1, i, j, k\) die Einheiten der Quaternionen sind, so ist \[ 1 = (W:W) + (X:X) + (Y:Y) + (Z:Z), \]
\[ i = (X:W) - (W:X) - (Y:Z) + (Z:Y), \] während \(j\) und \(k\) aus \(i\) durch circulare Vertauschung von \(X, Y, Z\) erfolgen. (\(W\) ist die vierte der homogenen Coordinaten.) Durch Anwendung der Gesetze \[ (Y:Z)(Z:X) = (Y:X); \quad (Y:Z)(X:W) = 0 \] erhält man wieder die Grundgleichungen \[ i^2 = j^2 =k^2 = -1; \quad ijk = -1\quad \text{etc.} . \] Mit Hülfe dieser Symbole lassen sich die Quaternionen selbst in determinantenähnlichen Formen schreiben.