Existence of chaotic invariant set in a class of 4-dimensional piecewise linear dynamical systems. (English) Zbl 1305.34025
Summary: For a class of 4-dim piecewise linear dynamical systems, some sufficient conditions for the existence of homoclinic orbit and chaotic invariant set are provided. Especially, the existence of chaotic invariant set is proved in terms of the constructed Poincaré map with a topological horseshoe. A numerical example with chaotic attractor is provided to illustrate our main result.
MSC:
| 34A36 | Discontinuous ordinary differential equations |
| 34C45 | Invariant manifolds for ordinary differential equations |
| 34C28 | Complex behavior and chaotic systems of ordinary differential equations |
| 37D45 | Strange attractors, chaotic dynamics of systems with hyperbolic behavior |
| 34C37 | Homoclinic and heteroclinic solutions to ordinary differential equations |
References:
| [1] | DOI: 10.1016/j.na.2009.06.031 · Zbl 1239.34035 · doi:10.1016/j.na.2009.06.031 |
| [2] | DOI: 10.1007/BF01209312 · Zbl 0485.58013 · doi:10.1007/BF01209312 |
| [3] | DOI: 10.1007/BF01095124 · Zbl 0295.58010 · doi:10.1007/BF01095124 |
| [4] | DOI: 10.1007/BF01709154 · Zbl 0471.34032 · doi:10.1007/BF01709154 |
| [5] | DOI: 10.1007/BF01139930 · Zbl 0598.34035 · doi:10.1007/BF01139930 |
| [6] | DOI: 10.1007/s11071-013-0862-3 · Zbl 1281.34037 · doi:10.1007/s11071-013-0862-3 |
| [7] | DOI: 10.1016/j.physd.2006.07.001 · Zbl 1113.37060 · doi:10.1016/j.physd.2006.07.001 |
| [8] | DOI: 10.1016/0375-9601(79)90464-X · doi:10.1016/0375-9601(79)90464-X |
| [9] | di Bernardo M., Applied Mathematical Sciences 163, in: Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Theory and Application (2008) · Zbl 1146.37003 |
| [10] | DOI: 10.1098/rsta.2010.0198 · Zbl 1211.37063 · doi:10.1098/rsta.2010.0198 |
| [11] | DOI: 10.1088/0951-7715/4/4/007 · Zbl 0741.34017 · doi:10.1088/0951-7715/4/4/007 |
| [12] | DOI: 10.1142/S021812740902369X · Zbl 1168.34332 · doi:10.1142/S021812740902369X |
| [13] | DOI: 10.1088/0951-7715/14/6/311 · Zbl 1003.34009 · doi:10.1088/0951-7715/14/6/311 |
| [14] | Golub G. H., Matrix Comptations (1989) |
| [15] | DOI: 10.1137/S1111111101394040 · Zbl 1002.92005 · doi:10.1137/S1111111101394040 |
| [16] | DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002 · Zbl 1198.34059 · doi:10.1016/j.jde.2009.10.002 |
| [17] | Homburg A. J., Global Aspects of Homoclinic Bifurcations of Vector Fields 578 (1996) · Zbl 0862.34042 |
| [18] | DOI: 10.1088/0951-7715/15/4/304 · Zbl 1017.37012 · doi:10.1088/0951-7715/15/4/304 |
| [19] | DOI: 10.1016/j.cnsns.2013.05.012 · Zbl 1344.37062 · doi:10.1016/j.cnsns.2013.05.012 |
| [20] | DOI: 10.1080/14689367.2011.604026 · Zbl 1252.37041 · doi:10.1080/14689367.2011.604026 |
| [21] | DOI: 10.1016/j.na.2012.07.002 · Zbl 1256.34028 · doi:10.1016/j.na.2012.07.002 |
| [22] | DOI: 10.3934/dcds.2012.32.2147 · Zbl 1248.34033 · doi:10.3934/dcds.2012.32.2147 |
| [23] | DOI: 10.1007/s11071-012-0396-0 · Zbl 1263.34078 · doi:10.1007/s11071-012-0396-0 |
| [24] | DOI: 10.1016/j.euromechsol.2006.04.004 · Zbl 1187.70041 · doi:10.1016/j.euromechsol.2006.04.004 |
| [25] | DOI: 10.1142/S0218127407017756 · Zbl 1185.37048 · doi:10.1142/S0218127407017756 |
| [26] | DOI: 10.1186/1687-1847-2013-1 · Zbl 1365.05013 · doi:10.1186/1687-1847-2013-1 |
| [27] | DOI: 10.1016/j.nonrwa.2013.02.004 · Zbl 1293.34047 · doi:10.1016/j.nonrwa.2013.02.004 |
| [28] | DOI: 10.1142/S0218127413500247 · Zbl 1270.34044 · doi:10.1142/S0218127413500247 |
| [29] | Shil’nikov L. P., Sov. Math. Dokl. 6 pp 163– (1965) |
| [30] | DOI: 10.1070/SM1970v010n01ABEH001588 · Zbl 0216.11201 · doi:10.1070/SM1970v010n01ABEH001588 |
| [31] | DOI: 10.1142/9789812798596 · doi:10.1142/9789812798596 |
| [32] | DOI: 10.1142/9789812798558 · doi:10.1142/9789812798558 |
| [33] | DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046 · Zbl 1209.37059 · doi:10.1016/j.physleta.2007.06.046 |
| [34] | DOI: 10.1201/9780203494554 · doi:10.1201/9780203494554 |
| [35] | DOI: 10.1007/s11071-013-0756-4 · Zbl 1284.37022 · doi:10.1007/s11071-013-0756-4 |
| [36] | DOI: 10.1007/978-1-4612-1042-9 · doi:10.1007/978-1-4612-1042-9 |
| [37] | DOI: 10.1007/978-1-4757-4067-7 · doi:10.1007/978-1-4757-4067-7 |
| [38] | Wiggins S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2003) · Zbl 1027.37002 |
| [39] | DOI: 10.1142/S0218127400001286 · Zbl 0982.37020 · doi:10.1142/S0218127400001286 |
| [40] | DOI: 10.1049/el:20020456 · doi:10.1049/el:20020456 |
| [41] | DOI: 10.1142/S0218127402005807 · doi:10.1142/S0218127402005807 |
| [42] | DOI: 10.1142/S0218127405012818 · Zbl 1092.37501 · doi:10.1142/S0218127405012818 |
| [43] | DOI: 10.1142/S0218127405011631 · doi:10.1142/S0218127405011631 |
| [44] | DOI: 10.1142/S0218127407018968 · doi:10.1142/S0218127407018968 |
| [45] | DOI: 10.1016/j.na.2004.06.004 · Zbl 1084.34006 · doi:10.1016/j.na.2004.06.004 |
| [46] | DOI: 10.1007/s00332-005-0606-8 · Zbl 1104.37031 · doi:10.1007/s00332-005-0606-8 |
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