The inverse problem of recovering the source in a parabolic equation under a condition of nonlocal observation. (English. Russian original) Zbl 1292.35329
Sb. Math. 204, No. 9, 1391-1434 (2013); translation from Mat. Sb. 204, No. 10, 3-46 (2013).
Summary: We study the inverse problem for a parabolic equation of recovering the source, that is, the right-hand side \( F(x,t)=h(x,t)f(x)\), where the function \( f(x)\) is unknown. To find \( f(x)\), along with the initial and boundary conditions, we also introduce an additional condition of nonlocal observation of the form \( \int_{0}^{T}u(x,t)d\mu(t)=\chi(x)\). We prove the Fredholm property for the problem stated in this way, and obtain sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution. These conditions are of the form of readily verifiable inequalities and put no restrictions on the value of \( T>0\) or the diameter of the domain \( \Omega\) under consideration. The proof uses a priori estimates and the qualitative properties of solutions of initial-boundary value problems for parabolic equations.
MSC:
| 35R30 | Inverse problems for PDEs |
| 35K20 | Initial-boundary value problems for second-order parabolic equations |
| 35B45 | A priori estimates in context of PDEs |
| 34A55 | Inverse problems involving ordinary differential equations |
Keywords:
inverse problems; parabolic equations; nonlocal observation; Fredholm property; a priori estimatesReferences:
| [1] | А. И. Прилепко, “Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса)”, Матем. заметки, 14:5 (1973), 755 – 767 |
| [2] | A. I. Prilepko, “Reports delivered at a general meeting of the mathematics division, Academy of Sciences of the USSR”, Math. Notes, 14:5 (1973), 990 – 996 · Zbl 0307.35080 · doi:10.1007/BF01462264 |
| [3] | В. М. Исаков, “Об одном классе обратных задач для параболических уравнений”, Докл. АН СССР, 263:6 (1982), 1296 – 1299 · Zbl 0547.35114 |
| [4] | V. M. Isakov, “On a class of inverse problems for parabolic equations”, Soviet Math. Dokl., 25:2 (1982), 519 – 521 · Zbl 0547.35114 |
| [5] | А. И. Прилепко, В. В. Соловьев, “Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа. II”, Дифференц. уравнения, 23:11 (1987), 1971 – 1980 · Zbl 0683.35090 |
| [6] | A. I. Prilepko, V. V. Solov/ev, “Solvability theorems and Rothe/s method for inverse problems for a parabolic equation. II”, Differential Equations, 23:11 (1987), 1341 – 1349 · Zbl 0683.35090 |
| [7] | В. В. Соловьев, “О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения”, Дифференц. уравнения, 25:9 (1989), 1577 – 1583 · Zbl 0695.35215 |
| [8] | V. V. Solov/ev, “Solvability of the inverse problem of finding a source, using overdetermination on the upper base for a parabolic equation”, Differential Equations, 25:9 (1989), 1114 – 1119 · Zbl 0695.35215 |
| [9] | Ю. С. Эйдельман, “Единственность решения обратной задачи для дифференциального уравнения в банаховом пространстве”, Дифференц. уравнения, 23:9 (1987), 1647 – 1649 |
| [10] | Д. Г. Орловский, “К задаче определения параметра эволюционного уравнения”, Дифференц. уравнения, 26:9 (1990), 1614 – 1621 · Zbl 0726.34015 |
| [11] | D. G. Orlovskii\?, “Determination of a parameter of an evolution equation”, Differential Equations, 26:9 (1990), 1201 – 1207 · Zbl 0726.34015 |
| [12] | V. Isakov, “Inverse parabolic problems with the final overdetermination”, Comm. Pure Appl. Math., 44:2 (1991), 185 – 209 · Zbl 0729.35146 · doi:10.1002/cpa.3160440203 |
| [13] | А. И. Прилепко, А. Б. Костин, “О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением”, Матем. сб., 183:4 (1992), 49 – 68 · Zbl 0802.35158 · doi:10.1070/SM1993v075n02ABEH003394 |
| [14] | A. I. Prilepko, A. B. Kostin, “On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 75:2 (1993), 473 – 490 · Zbl 0802.35158 · doi:10.1070/SM1993v075n02ABEH003394 |
| [15] | А. И. Прилепко, А. Б. Костин, “Оценка спектрального радиуса одного оператора и разрешимость обратных задач для эволюционных уравнений”, Матем. заметки, 53:1 (1993), 89 – 94 · Zbl 0822.47004 · doi:10.1007/BF01208529 |
| [16] | A. I. Prilepko, A. B. Kostin, “Estimation of the spectral radius of an operator and the solvability of inverse problems for evolution equations”, Math. Notes, 53:1 (1993), 63 – 66 · Zbl 0822.47004 · doi:10.1007/BF01208529 |
| [17] | А. И. Прилепко, И. В. Тихонов, “Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении”, Изв. РАН. Сер. матем., 58:2 (1994), 167 – 188 · Zbl 0826.47028 · doi:10.1070/IM1995v044n02ABEH001602 |
| [18] | A. I. Prilepko, I. V. Tikhonov, “Recovery of the nonhomogeneous term in an abstract evolution equation”, Russian Acad. Sci. Izv. Math., 44:2 (1995), 373 – 394 · Zbl 0826.47028 · doi:10.1070/IM1995v044n02ABEH001602 |
| [19] | И. В. Тихонов, Обратные задачи для эволюционных уравнений и приложения к уравнению переноса, Дис. \cdots канд. физ.-матем. наук, 1993 |
| [20] | А. И. Прилепко, И. В. Тихонов, “Принцип позитивности решения в линейной обратной задаче и его применение к коэффициентной задаче теплопроводности”, Докл. РАН, 364:1 (1999), 21 – 23 · Zbl 0961.35179 |
| [21] | A. I. Prilepko, I. V. Tikhonov, “The principle of the positiveness of a solution to a linear inverse problem and its application to the coefficient heat conduction problem”, Dokl. Math., 59:1 (1999), 14 – 16 · Zbl 0961.35179 |
| [22] | A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin, Methods for solving inverse problems in mathematical physics, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., 231, Marcel Dekker, New York, 2000 · Zbl 0947.35173 |
| [23] | А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко, “Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 43:9 (2003), 1392 – 1401 · Zbl 1073.45518 |
| [24] | A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko, “The Fredholm property and the well-posedness of the inverse source problem with integral overdetermination”, Comput. Math. Math. Phys., 43:9 (2003), 1338 – 1347 · Zbl 1073.45518 |
| [25] | В. Л. Камынин, “Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения”, Матем. заметки, 77:4 (2005), 522 – 534 · Zbl 1075.35106 · doi:10.1007/s11006-005-0047-6 |
| [26] | V. L. Kamynin, “On the inverse problem of determining the right-hand side of a parabolic equation under an integral overdetermination condition”, Math. Notes, 77:4 (2005), 482 – 493 · Zbl 1075.35106 · doi:10.1007/s11006-005-0047-6 |
| [27] | А. И. Прилепко, “Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I”, Дифференц. уравнения, 41:11 (2005), 1560 – 1571 · Zbl 1156.35304 · doi:10.1007/s10625-005-0323-y |
| [28] | A. I. Prilepko, “The semigroup method for inverse, nonlocal, and nonclassical problems. Prediction-control and prediction-observation for evolution equations. I”, Differ. Equ., 41:11 (2005), 1635 – 1646 · Zbl 1156.35304 · doi:10.1007/s10625-005-0323-y |
| [29] | А. И. Прилепко, А. Б. Костин, “Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении. I”, Сиб. матем. журн., 33:3 (1992), 146 – 155 · Zbl 0784.35122 · doi:10.1007/BF00970897 |
| [30] | A. I. Prilepko, A. B. Kostin, “Inverse problems of the determination of the coefficient in parabolic equations. I”, Siberian Math. J., 33:3 (1992), 489 – 496 · Zbl 0784.35122 · doi:10.1007/BF00970897 |
| [31] | А. И. Прилепко, И. А. Васин, “Некоторые обратные начально-краевые задачи для нестационарных линеаризованных уравнений Навье-Стокса”, Дифференц. уравнения, 25:1 (1989), 107 – 117 · Zbl 0689.35073 |
| [32] | A. I. Prilepko, A. B. Kostin, “Inverse initial-boundary-value problems for linearized nonstationary Navier – Stokes equations”, Differential Equations, 25:1 (1989), 85 – 92 · Zbl 0689.35073 |
| [33] | A. I. Kozhanov, R. R. Safiullova, “Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations”, J. Inverse Ill-Posed Probl., 18:1 (2010), 1 – 24 · Zbl 1279.35114 · doi:10.1515/jiip.2010.001 |
| [34] | А. Б. Костин, “Базисность одной системы функций, связанной с обратной задачей нахождения источника”, Дифференц. уравнения, 44:2 (2008), 246 – 256 · Zbl 1184.47006 · doi:10.1134/S0012266108020134 |
| [35] | A. B. Kostin, “Basis property of a system of functions related to the inverse problem of finding the source”, Differential Equations, 44:2 (2008), 256 – 266 · Zbl 1184.47006 · doi:10.1134/S0012266108020134 |
| [36] | О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967 · Zbl 0164.12302 |
| [37] | O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov, N. N. Ural/tseva, Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Transl. Math. Monogr., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968 · Zbl 0174.15403 |
| [38] | Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Часть 1. Общая теория, ИЛ, М., 1962 |
| [39] | N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators. I. General theory., Pure Appl. Math., 7, Intersci. Publ., New York – London, 1958 · Zbl 0084.10402 |
| [40] | И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Лань, СПб., 1999 |
| [41] | I. P. Natanson, Theory of functions of a real variable, Frederick Ungar Publ. Co., New York, 1955 · Zbl 0064.29102 |
| [42] | G. M. Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific, Singapore, 2005 |
| [43] | О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2-е изд., Наука, М., 1973 · Zbl 0269.35029 |
| [44] | O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural/tseva, Linear and quasilinear elliptic equations, Math. Sci. Engrg., 46, Academic Press, New York – London, 1968 · Zbl 0164.13002 |
| [45] | В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных, 2-е изд., Наука, М., 1983 · Zbl 0516.35002 |
| [46] | V. P. Mikhajlov, Partial differential equations, Mir, Moscow, 1978 · Zbl 0388.35002 |
| [47] | N. S. Trudinger, “Pointwise estimates and quasilinear parabolic equations”, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968), 205 – 226 · Zbl 0159.39303 · doi:10.1002/cpa.3160210302 |
| [48] | М. Г. Крейн, М. А. Рутман, “Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха”, УМН, 3:1(23) (1948), 3 – 95 |
| [49] | Функциональный анализ, 2-е изд., ред. С. Г. Крейн, Наука, М., 1972 |
| [50] | G. F. Votruba, L. F. Boron (eds.), Functional analysis, Wolters-Noordhoff Publ., Groningen, 1972 · Zbl 0236.47001 |
| [51] | M. Chicco, “Principio di massimo per soluzioni di problemi al contorno misti per equazioni ellittiche di tipo variazionale”, Boll. Un. Mat. Ital. (4), 3 (1970), 384 – 394 · Zbl 0193.39102 |
| [52] | Д. Гилбарг, Н. С. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989 · Zbl 0691.35001 |
| [53] | пер. c англ.: D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren Math. Wiss., 224, Springer-Verlag, Berlin, 1983 · Zbl 0562.35001 |
| [54] | А. Б. Костин, “Разрешимость одной проблемы моментов и ее связь с параболической обратной задачей”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. матем. и киберн., 1995, \? 1, 28 – 33 |
| [55] | Д. Г. Орловский, “Определение параметра параболического уравнения в гильбертовой структуре”, Матем. заметки, 55:3 (1994), 109 – 117 · Zbl 0833.35150 |
| [56] | D. G. Orlovskii, “Determination of a parameter of a parabolic equation in Hilbert/s structure”, Math. Notes, 55:3 (1994), 312 – 317 · doi:10.1007/BF02110786 |
| [57] | А. И. Прилепко, И. В. Тихонов, “Обратная задача с финальным переопределением для абстрактного эволюционного уравнения в упорядоченном банаховом пространстве”, Функц. анализ и его прил., 27:1 (1993), 81 – 83 · Zbl 0786.34026 |
| [58] | A. I. Prilepko, I. V. Tikhonov, “An inverse problem with final time additional condition for an abstract evolution equation in an ordered Banach space”, Funct. Anal. Appl., 27:1 (1993), 68 – 70 · Zbl 0786.34026 · doi:10.1007/BF01768675 |
| [59] | А. И. Прилепко, А. Б. Костин, “О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I”, Дифференц. уравнения, 32:1 (1996), 107 – 116 · Zbl 0874.35130 |
| [60] | A. B. Kostin, A. I. Prilepko, “On some problems of restoration of a boundary condition for a parabolic equation. I”, Differential Equations, 32:1 (1996), 113 – 122 · Zbl 0874.35130 |
| [61] | В. П. Михайлов, А. К. Гущин, “Дополнительные главы курса «Уравнения математической физики»”, Лекц. курсы НОЦ, 7, МИАН, М., 2007, 3 – 144 · doi:10.4213/lkn7 |
| [62] | А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач, МГУ, М., 1994 |
| [63] | A. M. Denisov, Elements of the theory of inverse problems, Inverse Ill-posed Probl. Ser., VSP, Utrecht, 1999 · Zbl 0940.35003 |
| [64] | И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1965 |
| [65] | I. C. Gohberg, M. G. Krei\breve n, Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators, Transl. Math. Monogr., 18, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1969 · Zbl 0181.13503 |
| [66] | T. Carleman, “U\"ber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen”, Ber. Verh. Sachs. Akad. Leipzig, 88 (1936), 119 – 132 · Zbl 0017.11402 |
| [67] | М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Асимптотика спектра дифференциальных уравнений”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 14, ВИНИТИ, М., 1977, 5 – 58 · Zbl 0417.35061 |
| [68] | M. Sh. Birman, M.Ż. Solomyak, “Asymptotic behavior of the spectrum of differential equations”, J. Soviet Math., 12:3 (1979), 247 – 283 · Zbl 0424.35069 · doi:10.1007/BF01098368 |
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.
