On a class of polynomes. (Sur une classe de polynômes.) (French) JFM 12.0342.02
Gegenstand der Untersuchung ist eine Reihe von Polynomen in \(x\)
\[
A_0,\; A_1,\ldots A_n,
\]
wo \(A_n\) vom \(n^{\text{ten}}\) Grade ist, und zwei aufeinanderfolgende Glieder durch die Relation
\[
\frac {dA_n}{dx}=nA_{n-1}
\]
verknüpft sind. Die einfachsten Polynome der Art sind \(1,\; x,\; x^2,\ldots x^n\). Den allgemeinsten Ausdruck für dieselbe findet man in folgender Weise: Es sei
\[
a(h) =\alpha_0+h\alpha_1+\frac {h^2}{1.2}\alpha_2+\dotsm +\frac {h^n}{1.2\ldots n}\alpha_n +\dotsm
\]
die erzeugende Function, unter \(\alpha_1,\;\alpha_2,\ldots\) ganz unbestimmte Grössen gedacht, so ist \(A_n\) der Coefficient von \(\frac {h^n}{1.2\ldots n}\) in der Entwickelung von \(a(h)e^{hx}\) nach stetigen Potenzen von \(h\), also
\[
a(h)e^{hx}=A_0+A_1h+A_2\frac {h^2}{1.2} +\dotsm +A_n\frac {h^n}{1.2\ldots n} +\dotsm .
\]
\(a(h)=1\) giebt die einfachsten Polynome \(1,\; x,\ldots x^n\). Unter \((AB)_n\) versteht man das Polynom, das man erhält, wenn man in \(A_nx^k\) durch \(B_k\) ersetzt. Die erzeugende Function der Polynome \((AB)\) ist das Product \(a(h).b(h)\), wenn \(b(h)\) die erzeugende Function der Polynome \(B\) ist. Hiernach ist \(AB)_n=(BA)_n.\; \left( \frac BA \right)_n\) wird durch die Gleichung \(\left( A\cdot \frac BA \right)_n =B_n\) definirt, insbesondere \(\left( \frac 1A \right)_n\) durch die Gleichung \(\left( A\cdot \frac 1A \right)_n =x^n\).
Die weitere Untersuchung betrifft die Herleitung einer linearen Relation zwischen mehreren aufeinanderfolgenden Gliedern in der Reihe der \(A\), sowie einer linearen Differentialgleichung für \(A_n\), wenn die erzeugende Function gegeben ist, ferner die Darstellung einer Function \(F(x)\) in einer Reihe, die nach den Polynomen \(A_n\) fortschreitet. Schliesslich wird der Grenzwerth von \(A_n\) für \(n=\infty\) entwickelt.
Die angewandte Methode lässt sich auf Polynome von mehreren Variablen ausdehnen. So werden die Polynome \(U_{m,n}\) in \(x,\; y\) definirt durch die Gleichung \[ f(h,\; k)e^{x(ah+bk)+y(b'h+c'k)} =\sum \frac {h^mk^n}{m!n!} U_{m,n}, \] wo \(f(h,\; k)\) die erzeugende Function ist, entwickelbar nach ganzen positiven wachsenden Potenzen von \(h\) und \(k\).
Die weitere Untersuchung betrifft die Herleitung einer linearen Relation zwischen mehreren aufeinanderfolgenden Gliedern in der Reihe der \(A\), sowie einer linearen Differentialgleichung für \(A_n\), wenn die erzeugende Function gegeben ist, ferner die Darstellung einer Function \(F(x)\) in einer Reihe, die nach den Polynomen \(A_n\) fortschreitet. Schliesslich wird der Grenzwerth von \(A_n\) für \(n=\infty\) entwickelt.
Die angewandte Methode lässt sich auf Polynome von mehreren Variablen ausdehnen. So werden die Polynome \(U_{m,n}\) in \(x,\; y\) definirt durch die Gleichung \[ f(h,\; k)e^{x(ah+bk)+y(b'h+c'k)} =\sum \frac {h^mk^n}{m!n!} U_{m,n}, \] wo \(f(h,\; k)\) die erzeugende Function ist, entwickelbar nach ganzen positiven wachsenden Potenzen von \(h\) und \(k\).
Reviewer: Hamburger, Dr. (Berlin)
MSC:
26C99 | Polynomials, rational functions in real analysis |