Les minorations de formes linéaires de logarithmes ont connu de nombreuses utilisations et, bien que leurs énoncés actuels soient loins des conjectures espérées, toute amélioration semble susceptible d’application. Souvent ces applications requièrent des raffinements spécifiques à des formes de types particuliers, mais il est également intéressant d’avoir des minorations aussi précises que possible pour les formes linéaires les plus générales. Ceci a donné naissance à une théorie maintenant riche d’histoire et dont les derniers développements reviennent à E. Matveev.
Yu. V. Nesterenko donne dans ce texte une présentation quelque peu simplifiée (et plus accessible) des travaux de E. Matveev fournissant les meilleures minorations de formes linéaires de logarithmes rationelles, connues présentement. La principale restriction introduite est l’hypothèse de rationalité des coefficients des formes et surtout des arguments des logarithmes considérés. Des simplifications dans les paramètres et les calculs conduisent à une minoration à peine inférieure à celle des travaux originaux de E. Matveev.
La preuve utilise entre autres des outils fins de géométrie des nombres (dans la délicate construction de fonction auxiliaire), un lemme de zéros et une descente reposant sur les classiques arguments kummeriens.
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