Differential equations: A dynamical systems approach. (Équations différentielles et systèmes dynamiques. Traduction de l’anglais et adaptation de Véronique Gautheron.) (French) Zbl 0987.34001
Enseignement des Mathématiques (Cassini) 2. Paris: Cassini (ISBN 2-84225-015-X/pbk). xiv, 416 p. (1999).
Le livre contient huit chapitres. A la fin il y a un épilogue et un appendice.
Dans le premier chapitre on introduit une nouvelle terminologie. Les termes “barrière” et “entonnoir” et “antientonnoir” nous serviront à décrire des phénomènes simples. Ces idées noúveaux permettent la réalisation des démonstrations simples des théorèmes essentiels.
Les types d’équations du premier ordre qui on peut expliciter les solutions font l’objet du déuxième chapitre.
Le troisième chapitre est consacré aux méthodes numériques. Ces méthodes permettent approcher de la solution d’une équation différentielle vérifient une condition initiale donnée. On présente les méthodes à pas fixe et celles dérivants du développement en série des solutions. On insiste aussi sur les méthodes qualitatives. La chapitre 4 contient l’inégalité fondamentale donné par Dieudonné. Cette inégalité donne une preuve constructive du théorème d’existence et d’unicité et fournit une estimation de l’erreur.
Dans le chapitre 5 on étudie l’itération. L’itération traite certains aspects des équations différentielles comme la stabilité des approximations numériques des solutions, elle nous permettra comprendre le comportement des solutions des équations différentielles périodiques grâce à l’application premier retour de Poincaré. Associés à la théorie voisine de l’itération ou des fractales, la théorie qualitative des équations différentielles a pris le nom de théorie des systèmes dynamiques.
Le chapitre 6 est consacré aux méthodes qualitatives dans \(\mathbb{R}^n\) et contient un grand nombre d’exemples.
Le chapitre 7 traite les systèmes linéaires à coefficients constants et utilise les éléments d’algèbre linéaire. On considère aussi le lien entre le signe des valeurs propres et la stabilité des solutions.
Le chapitre 8 est consacré aux systèmes non linéaires. On utilise les techniques de linéarisation avec les ordinateurs graphiques qui permettent de tracer les solutions d’un système non linéaire.
L’épilogue présente quelques idées sur la stabilité structurelle.
L’appendice contient une explication de quelques exercises. Le livre s’occupe des équations différentielles de façon accessible des les premières années d’Université.
Dans le premier chapitre on introduit une nouvelle terminologie. Les termes “barrière” et “entonnoir” et “antientonnoir” nous serviront à décrire des phénomènes simples. Ces idées noúveaux permettent la réalisation des démonstrations simples des théorèmes essentiels.
Les types d’équations du premier ordre qui on peut expliciter les solutions font l’objet du déuxième chapitre.
Le troisième chapitre est consacré aux méthodes numériques. Ces méthodes permettent approcher de la solution d’une équation différentielle vérifient une condition initiale donnée. On présente les méthodes à pas fixe et celles dérivants du développement en série des solutions. On insiste aussi sur les méthodes qualitatives. La chapitre 4 contient l’inégalité fondamentale donné par Dieudonné. Cette inégalité donne une preuve constructive du théorème d’existence et d’unicité et fournit une estimation de l’erreur.
Dans le chapitre 5 on étudie l’itération. L’itération traite certains aspects des équations différentielles comme la stabilité des approximations numériques des solutions, elle nous permettra comprendre le comportement des solutions des équations différentielles périodiques grâce à l’application premier retour de Poincaré. Associés à la théorie voisine de l’itération ou des fractales, la théorie qualitative des équations différentielles a pris le nom de théorie des systèmes dynamiques.
Le chapitre 6 est consacré aux méthodes qualitatives dans \(\mathbb{R}^n\) et contient un grand nombre d’exemples.
Le chapitre 7 traite les systèmes linéaires à coefficients constants et utilise les éléments d’algèbre linéaire. On considère aussi le lien entre le signe des valeurs propres et la stabilité des solutions.
Le chapitre 8 est consacré aux systèmes non linéaires. On utilise les techniques de linéarisation avec les ordinateurs graphiques qui permettent de tracer les solutions d’un système non linéaire.
L’épilogue présente quelques idées sur la stabilité structurelle.
L’appendice contient une explication de quelques exercises. Le livre s’occupe des équations différentielles de façon accessible des les premières années d’Université.
Reviewer: G.G.Vrănceanu (Bucureşti)
MSC:
| 34-01 | Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations |
| 65-01 | Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis |
| 34D20 | Stability of solutions to ordinary differential equations |
| 34A40 | Differential inequalities involving functions of a single real variable |
| 65L05 | Numerical methods for initial value problems involving ordinary differential equations |
| 37-01 | Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to dynamical systems and ergodic theory |
| 34A26 | Geometric methods in ordinary differential equations |
| 34A12 | Initial value problems, existence, uniqueness, continuous dependence and continuation of solutions to ordinary differential equations |
| 34A25 | Analytical theory of ordinary differential equations: series, transformations, transforms, operational calculus, etc. |
