Conformal invariants, quasiconformal maps, and spectral functions. (English) Zbl 0767.30018
Quasiconformal space mappings, Collect. Surv. 1960-1990, Lect. Notes Math. 1508, 1-19 (1992).
[For the entire collection see Zbl 0744.00024.]
Dies ist eine eingehende Zusammenfassung von Resultaten der Verff. und vieler anderer Autoren über Verzerrungen bei quasikonformen Abbildungen im \(R^ n\). — Dabei spielen folgende Begriffe eine wesentliche Rolle: Modul (bzw. Extremallänge) einer Kurvenschar und eines Ringgebietes, seine Quasiinvarianz; Spezielle Funktionen, insbesodere vollständige elliptische Integrale, Monotonieeigenschaften und scharfe elementare Abschätzungen, Landenidentitäten und verwandte Ungleichungen; Hölderstetigkeit der quasikonformen Abbildungen; Quasiinvarianz des Doppelverhältnisses und der Winkel. — Viele offene Fragen werden hervorgehoben, insbesondere die zentrale Aufgabe, Abschätzungen für \(K\)-quasikonforme Abbildungen im \(R^ n\) aufzustellen, welche für \(K\to 1\) (d.h. bei \(n\geq 3\) nach dem Satz von Liouville Möbius- Transformationen) noch sinnvoll bleiben. Als anzustrebendes Endziel der Verzerrungstheorie betrachten Verff. Resultate, welche für \(K\to 1\), \(n\geq 3\) den Satz von Liouville als Korollar enthalten würden.
Dies ist eine eingehende Zusammenfassung von Resultaten der Verff. und vieler anderer Autoren über Verzerrungen bei quasikonformen Abbildungen im \(R^ n\). — Dabei spielen folgende Begriffe eine wesentliche Rolle: Modul (bzw. Extremallänge) einer Kurvenschar und eines Ringgebietes, seine Quasiinvarianz; Spezielle Funktionen, insbesodere vollständige elliptische Integrale, Monotonieeigenschaften und scharfe elementare Abschätzungen, Landenidentitäten und verwandte Ungleichungen; Hölderstetigkeit der quasikonformen Abbildungen; Quasiinvarianz des Doppelverhältnisses und der Winkel. — Viele offene Fragen werden hervorgehoben, insbesondere die zentrale Aufgabe, Abschätzungen für \(K\)-quasikonforme Abbildungen im \(R^ n\) aufzustellen, welche für \(K\to 1\) (d.h. bei \(n\geq 3\) nach dem Satz von Liouville Möbius- Transformationen) noch sinnvoll bleiben. Als anzustrebendes Endziel der Verzerrungstheorie betrachten Verff. Resultate, welche für \(K\to 1\), \(n\geq 3\) den Satz von Liouville als Korollar enthalten würden.
Reviewer: J.Hersch (Zürich)
MSC:
30C65 | Quasiconformal mappings in \(\mathbb{R}^n\), other generalizations |
30C62 | Quasiconformal mappings in the complex plane |
30C70 | Extremal problems for conformal and quasiconformal mappings, variational methods |
30C80 | Maximum principle, Schwarz’s lemma, Lindelöf principle, analogues and generalizations; subordination |
31B15 | Potentials and capacities, extremal length and related notions in higher dimensions |
31A15 | Potentials and capacity, harmonic measure, extremal length and related notions in two dimensions |