Ce livre, comme son titre l’indique, traite exclusivement des fonctions analytiques réelles; il regroupe de nombreux résultats épars dans la littérature. D’un spectre large mais d’un volume réduit il n’est pas complètement auto-contenu mais invite à des lectures ultérieures. Ce livre est divisé en cinq chapitres que nous allons maintenant présenter.
Chap. 1: Il commence par une description de la théorie élémentaire (séries entières, prolongement analytique, composition etc.) à une, puis à plusieurs variables. Vient ensuite le très important théorème de Cauchy-Kovalewski qui concerne l’existence locale des solutions d’équations aux dérivées partielles analytiques non linéaires.
Chap. 2. Après quelques résultats classiques (th. de Pringsheim-Boas, th. de Borel construisant une fonction \(C^ \infty\) sur \([-1,1]\) à jet en zéro donné, extension de Besicovitch qui montre que l’on peut prendre \(f\) analytique dans \([-1,+1]\backslash\{0\})\), on aborde le théorème d’extension de Whitney et ses applications. Un court paragraphe, consacré au th. de Bernstein d’analyticité des fonctions \(C^ \infty\) à dérivées non négatives, clot ce chapitre.
Chap. 3: Le premier paragraphe traite des classes de fonctions à croissance des dérivées controllées (classe \(C(M_ j)\), classes de Grevrey) et le principal résultat prouvé est celui de Denjoy-Carleman qui caractérise les classes \(C(H_ j)\) quasi-analytiques. Vient ensuite une étude des développements de Puiseux des racines des polynômes en deux variables et le chapitre est clot par une discussion de l’analyticité séparée.
Chap. 4: Il débute par une description du théorème de division des distributions qui est démontré par une méthode due à Hörmander mais qui n’utilise pas le lemme de Tarski-Seidenberg. Le deuxième paragraphe est consacré à une présentation de la transformée de F.B.I. (Fourier-Bros-Iagolnitzer). Cette très importante transformation qui a été très utilisée ces dernières années en équations aux dérivées partielles permet de caractériser l’analyticité locale et microlocale. Seul l’aspect local est traité ici. Le chapitre se termine par une discussion du th. de Paley-Wiener qui caractérise les transformées de Fourier des distributions à support compact.
Chap. 5: Il s’ouvre sur une introduction au théorème de désingularisation d’Hironaka qui est ensuite énoncé et démontré dans le cas très particulier des ensembles \(\{x:f_ j(x)=0,\;j=1,\dots,m\}\), \(f_ j\) analytiques. Vient ensuite une présentation du th. de structure des ensembles analytiques de Lojasiewicz. Le chapitre se termine par des énoncés concernant le plongement (isométrique) des variétés (riemanniennes) analytiques réelles compactes dans des espaces euclidiens et enfin concernant les ensembles semi-analytiques et sous-analytiques.