Die Menge der konformen Klassen oder der Modulraum von kompakten Riemannschen Flächen eines Geschlechts \(g\geq 2\) ist eine komplexe algebraische Varietät \(M_ g\) der Dimension \(3g-3\). Bekanntlich kann \(M_ g\) als Quotient \(T_ g/\Gamma_ g\) des zum Geschlecht \(g\) gehörigen Teichmüllerraums \(T_ g\) nach der Teichmüllerschen Modulgruppe \(\Gamma_ g\) erhalten werden, die in der vorliegenden Arbeit als Abbildungsklassengruppe definiert wird. \(T_ g\) ist eine zum \(\mathbb{R}^{6g-6}\) diffeomorphe komplexe Mannigfaltigkeit, die biholomorph äquivalent zu einem beschränkten Gebiet im \(\mathbb{C}^{3g-3}\) ist. Ferner operiert \(\Gamma_ g\) eigentlich diskontinuierlich auf \(T_ g\) und stellt die volle Gruppe von biholomorphen Automorphismen von \(T_ g\) dar. Es sei \(\pi:T_ g\to T_ g/\Gamma_ g=M_ g\) die kanonische Projektion. Für jeden Punkt \(S\in T_ g\) ist die Stabilitätsgruppe \(\Gamma_{g,S}\) von \(S\) in \(\Gamma_ g\) kanonisch isomorph zur Automorphismengruppe \(Aut(S)\) derjenigen Riemannschen Flächen, die durch den Punkt \(\pi(S)\in M_ g\) repräsentiert werden. Jede endliche Untergruppe \(F\subset\Gamma_ g\) ist in einer solchen Stabilitätsgruppe enthalten. Die Klasse der zu \(F\) konjugierten Untergruppen von \(\Gamma_ g\) sei mit \((F)\) bezeichnet; für \(S\in T_ g\) heiße speziell \(\Sigma(S):=(\Gamma_{g,S})\) der Symmetrie-Typ der durch \(\pi(S)\) repräsentierten Riemannschen Flächen. Für jede endliche Untergruppe \(F\subset\Gamma_ g\) heißt \[ \overset\circ M_ g^{(F)}:=\{\pi(S)\in M_ g/\Sigma(S)=(F)\} \] das \((F)\)- äquisymmetrische Stratum von \(M_ g\). Es sei ferner \[ M_ g^{(F)}:=\{\pi(S)\in M_ g/\Sigma(S)\geq(F)\}, \] wobei \(\Sigma(S)\geq(F)\) bedeuten soll, daß \(F\) Untergruppe einer in \(\Sigma(S)\) enthaltenen Gruppe ist. Offensichtlich gilt \[ \overset\circ M_ g^{(F)}=M_ g^{(F)}-\bigcup_{G\supset F}M_ g^{(G)}. \] Die ersten beiden Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit sind in der dort benutzten Numerierung die folgenden beiden Theoreme:
Theorem 2.1: Für jede endliche Untergruppe \(F\subset\Gamma_ g\) gilt:
(i) \(M_ g^{(F)}\) ist eine abgeschlossene, irreduzible algebraische Untervarietät von \(M_ g\).
(ii) Jedes nicht leere \(\overset\circ M_ g^{(F)}\) ist eine glatte, zusammenhängende, lokal abgeschlossene algebraische Untervarietät von \(M_ g\), die Zariski-dicht in \(M_ g^{(F)}\) liegt. Es existieren nur endlich viele verschiedene \(\overset\circ M_ g^{(F)}\).
Die Aussagen (i), (ii) bedeuten, daß die \(\overset\circ M_ g^{(F)}\) eine Stratifikation von \(M_ g\) bilden.
Theorem 2.7: \(T_ g\) enthält einen \(\Gamma_ g\)-äquivarianten simplizialen Komplex \(X\), der ein starker Deformations-Retrakt von \(T_ g\) ist. Die Gruppe \(\Gamma_ g\) operiert eigentlich diskontinuierlich auf \(X\), und \(X/\Gamma_ g\) ist ein kompakter simplizialer Komplex.
Als Anwendung wird für jeden Primkörper \(\mathbb{F}_ p\) die Krull- Dimension der Kohomologie-Algebra \(H^*(\Gamma_ g,\mathbb{F}_ p)\) berechnet. Unter wesentlicher Verwendung eines Resultates von D. Quillen [Ann. Math., II. Ser. 94, 549-602 (1971; Zbl 0247.57013); Korollar 7.8] ergibt sich das folgende dritte Hauptergebnis:
Theorem 3.3: Die Krull-Dimension von \(H^*(\Gamma_ g,\mathbb{F}_ p)\) ist die größte ganze Zahl \(\beta=\beta(g,p)\), zu der es ganze Zahlen \(\tau,t\geq 0\) mit \(t\neq 1\) gibt, derart daß \[ 2g-2=p^{\beta- 1}[(2\tau-2+t)p-t] \] und \(\beta\leq 2\tau\), falls \(t=0\), sowie \(\beta<2\tau+t\), falls \(t>1\), gilt. Die Größe \(\beta=\beta(g,p)\) ist zugleich der \(p\)-Rang von \(\Gamma_ g\).