Les auteurs étudient le problème non-classique suivant:
(*) \(u_ t=\sum_{i,j}a_{ij}u_{x_ ix_ j}+b\) dans \(Q_ T\), avec les conditions initiales \(u(x,t)=g(x,t)\) pour \((x,t)\in S_ T=S\times[0,T]\) et \(u(x,0)=u_ 0(x)\) pour \(x\in\Omega\) avec l’hypothèse supplémentaire \(u_ x(0,t)=H(t)\), \(t\in[0,T]\). Ici \(\Omega\) est un domaine borné de \(\mathbb{R}^ n\) à frontière régulière \(\partial\Omega=S\) et \(x_ 0\) est un point fixé de \(\Omega\). Les fonctions \(a_{ij}=a(x,t,u,u_ x,u_ x(x_ 0,\phi(t,h(u))))\) et \(b=b(x,t,u,u_ x,u_ x(x_ 0,\phi(t,h(u))))\), avec \(h(s): \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) et \(\phi(t,y): [0,T]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), vérifiant en plus \(0\leq\phi(t,x)\leq t\). Le problème parabolique inverse consistant à trouver \((u(x,t),a(s))\) vérifiant \(u_ t=(\partial/\partial x)[a(u(x,t)\partial n/\partial x]\) dans \((0,1)\times(0,T]\) avec des données initiales \(u(x,0)=u_ 0(x)\) pour \(x\in[0,1]\) et \(u(0,t)=f_ 1(t)\), \(u(1,t)=f_ 2(t)\) dans \([0,T]\) et des conditions aux limites, est ramené facilement au problème (*) plus général. En imposant aux coefficients \(a_{ij}\) et \(b\) (supposés de classe \({\mathcal C}^ 2\)) une condition d’ellipticité, on démontre, à l’aide du théorème du point fixe de Schauder un résultat d’existence locale dans l’espace \(C^{2+\alpha,1+(\alpha/2)}(\bar Q_ T)\). Ici on suppose en plus que les \(a_{ij}\) et \(b\) sont tels que pour \(V\in C^{\alpha,\alpha/2}(\bar Q_ T)\) l’équation parabolique \[ u_ t=a(x,t,u,u_ x,v(x,t))u_{x_ ix_ j}+b(x,t,u,u_ x,v(x,t)) \] avec les mêmes conditions initiales que dans (*), soit résoluble localement.
On démontre aussi un théorème de régularité \(C^ \infty\), et, sous des hypothèses naturelles, on étudie la dépendence continue de la solution. Ceci entraîne un théorème d’unicité.