Eine Zwischen-Funktion in einem affinen Raum ist eine Abbildung (a,b,c)\(\mapsto (a| b,c)\in \{1,-1\}\) für kollineare Punkte a,b,c mit \(b\neq a\neq c\), für welche \((a| b,c)(a| c,d)=(a| b,d)\) gilt. Die Verfasserin nennt einen desarguesschen affinen Raum mit einer Zwischen-Funktion \(\beta\) quasi-geordnet, wenn es zu je 2 kopunktalen Geraden mindestens eine mit \(\beta\) verträgliche Parallelprojektion gibt, und wenn folgendes gilt: Sind a,b,c und \(a',b'c'\) je 3 kollineare Punkte mit \(ab\| a'b'\) aber \(ab\neq a'b'\), dann folgt \((a| b,c)=(a'| b',c')\) aus \(ac'\| a'c\) und \(bc'\| b'c.\)
Sowohl halbgeordnete als auch semi-geordnete affine Räume sind Spezialfälle von quasi-geordneten affinen Räumen. Es wird gezeigt, daß die desarguesschen quasi-geordneten affinen Räume genau die sind, welche durch quasi-geordnete Schiefkörper koordinatisiert werden. Ein Schiefkörper F wird von der Verfasserin quasi-geordnet genannt, wenn es eine Abbildung \(\sigma: F^*\to \{1,-1\}\) gibt mit der Eigenschaft \(\sigma (a)\sigma (-a)=\sigma (1)\sigma (-1)\) für alle \(a\in F^*\). Jede Teilmenge Q von \(F^*\) liefert eine Quasi-Ordnung von F durch \(\sigma (a):=1\) oder -1, wenn \(a\in bzw\). \(\not\in Q\cup (-Q)\). Jede Auswahlfunktion \(\chi\) auf \(\{\{a,-a\}| a\in F^*\}\) liefert eine Quasi-Ordnung von F durch \(\sigma (a):=1\) oder -1, wenn \(\chi (\{a,- a\})=a\) bzw. \(=-a\). Und jede Quasi-Ordnung von F ist von einer dieser beiden Arten. \({\bar \sigma}\) mit \({\bar \sigma}\)(a):\(=-\sigma (a)\) heißt Komplement von \(\sigma\). \(\sigma\) und \({\bar \sigma}\) liefern dieselbe Quasi-Ordnung in der affinen Ebene. Man kann sich daher auf normierte Quasi-Ordnungen eines Schiefkörpers beschränken, d.h. solche mit \(\sigma (1)=1\). In einem normierten quasi-geordneten Schiefkörper sei \(C_{\sigma}:=\{c\in F^*|\sigma (xc)=\sigma (x)\sigma (c)\) für alle \(x\in F^*\}\). \(| C_{\sigma}|\) ist die Anzahl der mit \(\beta\) verträglichen Parallelprojektionen zwischen 2 kopunktalen Geraden. \(C_{\sigma}\) ist eine Untergruppe von \(F^*\), und \(C_{\sigma}=F^*\) gilt genau dann, wenn \(\sigma\) eine Halbordnung von F ist.