Problemstellung: Ein Simplex eines euklidischen Raumes mit einer Dimension \(\geq 3\) heiße zulässig genau dann, wenn es folgende Eigenschaften hat: (1) Die Längen seiner eindimensionalen Seiten (Kantenlängen) sind \(\geq \sqrt{3}\). (2) Die Umkreisradien seiner zweidimensionalen Seiten sind \(\geq (3/4)\sqrt{2}\). Gesucht ist das Minimum der Umkugelradien der zulässigen Simplexe.
Für die Dimension drei wurde die Aufgabe von J. Horvath in Stud. Sci. Math. Hungar. 5(1970), 421-426 (1971; Zbl 0231.52010) gelöst; das minimale Tetraeder hat genau zwei gegenüberliegende Kanten der Länge 2, die übrigen vier Kanten haben die Länge \(\sqrt{3}.\)
Für die Dimension vier wird im folgenden ein Satz bewiesen, der eine Teillösung der genannten Aufgabenstellung ist und aus dem hervorgeht, daß die Lösung im vierdimensionalen Fall zu der des dreidimensionalen Falles nicht in dem Sinne analog sein kann, daß das minimale Simplex genau zwei Kantenlängen aufweist. (Vermutlich ist das minimale Simplex im vierdimensionalen Fall regulär.)
Satz. Es sei M die Menge derjenigen zulässigen Simplexe des vierdimensionalen euklidischen Raumes, die noch folgende Eigenschaft haben: Zu jedem Simplex aus M existieren höchstens zwei Zahlen, so daß jede Kante des betreffenden Simplex eine dieser beiden Zahlen als Länge hat. Dann beträgt das Minimum der Umkugelradien der Simplexe aus M \(3\sqrt{3}/2\sqrt{5}\), und das minimale Simplex ist regulär.