Der vorliegende schmale, aber überraschend inhaltsreiche Band aus der geschätzten Reihe der Chicago Lectures in Mathematics basiert auf Vorlesungen, die der Autor vor wenigen Jahren gehalten hat. Er setzt beim Leser Kenntnisse in elementarer Funktionalanalysis (Banachräume, Hilberträume, Maßtheorie einschließlich Rieszscher Darstellungssatz, \(L^ p\)-Räume) voraus und führt ihn in zielstrebiger Weise zu einigen anwendungsreichen Höhepunkten der Funktionalanalysis: Satz von Krein-Milman, Fixpunktsatz von Kakutani, Existenz und Eindeutigkeit des Haarmaßes auf kompakten topologischen Gruppen, Spektralsatz für kompakte Operatoren im Hilbertraum, Satz von Peter-Weyl.
Spektralsatz für vertauschbare Familien beschränkter selbstadjungierter Operatoren via Gelfand’s Theorie der kommutativen \(C^*\)-Algebren und Rieszschen Darstellungssatz, von Neumann’s Ergodensatz.
Fouriertransformation auf \(L^ 1({\mathbb{R}}^ n)\) und \(L^ 2({\mathbb{R}}^ n)\), Eigbettungssätze von Sobolev und Rellich.
Der letzte Abschnitt (gut ein Viertel des Bandes) ist eine als Abrundung der Vorlesung gedachte Einführung in die funktionalanalytische Behandlung elliptischer Differentialoperatoren (Distributionen, die Sobolevräume \(H^ k(\Omega)\), \(k\in {\mathbb{Z}}\), Regularitätssätze via Gårding’s Ungleichung, ein Spektralsatz für elliptische Differentialoperatoren).
Jeder Abschnitt wird durch einige Übungsaufgaben (recht unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades) ergänzt. Der Charakter eines sorgfältig gearbeiteten Vorlesungsmanuskripts ist weitgehend erhalten geblieben. Dementsprechend sind die Beweise meist knapp, aber vollständig; Motivierungen und Beispiele sind sparsam eingestreut, aber zum Verständnis der Theorie ausreichend; Ausblicke und Hinweise auf die Literatur fehlen ganz. Die drucktechnische Gestaltung des Bändchens ist erfreulich solide.