In dieser Arbeit betrachtet Verf. Potenzreihen des Typs (*), (siehe oben) mit \(e_ n=n\), ganzrationalen \(a_ n>1\) und ganzen \(b_ n\neq 0\) aus einem festen algebraischen Zahlkörper K vom Grad m über \({\mathbb{Q}}\); weiter wird \(\sigma =\infty\) und \(\theta <1\) vorausgesetzt, wobei jetzt \(| b_ n|\) in der Definition von \(\theta\) durch die Höhe von \(b_ n\) zu ersetzen ist. Gibt es dann zu \(\xi\) eine Folge \((p_ n/q_ n)\in {\mathbb{Q}}^{{\mathbb{N}}}\) mit allen \(q_ n>1\) und eine gegen \(\infty\) konvergente Folge \((w(n))\in {\mathbb{R}}_+^{{\mathbb{N}}}\) derart, daß \(0<| \zeta -(p_ n/q_ n)| <q_ n^{-nw(n)}\) für alle großen n gilt (\(\xi\) ist also Liouville-Zahl) und daß (n log \(q_ n)/(\log a_ n)\) zwischen festen positiven Schranken bleibt, so gilt entweder f(\(\xi\))\(\in K\) oder f(\(\xi\)) ist eine U-Zahl eines Grades \(\leq m.\)
Im ersten Teil der Arbeit wird exakt der Fall \(K={\mathbb{Q}}\) formuliert und mit Hilfe des Liouvilleschen Approximationssatzes bewiesen; der Fall eines beliebigen K wird im zweiten Teil genauso ausführlich abgehandelt, nur daß man jetzt f(\(\xi\)) sehr gut durch Zahlen aus K annähert. Verf. gibt schließlich einige Anwendungsbeispiele an.