Jedem, der sich einmal für die Funktionentheorie von mehreren Veränderlichen interessiert hat, ist das Buch von R. C. Gunning und H. Rossi: “Analytic functions of several complex variables”, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall (1965; Zbl 0141.08601) (hier als [GR] abgekürzt) wohlvertraut. Mit vorliegenden drei Bänden von R. C. Gunning liegt nun eine wesentlich erweiterte Neuauflage dieses Klassikers vor. Sowohl ihre Stofffülle als auch die gut lesbare Darstellung versprechen auch diesen Bänden einen festen Platz in der Vielfalt von Lehrbüchern der komplexen Analysis. Leider fehlen eine ausführliche Bibliographie zur sowie Hinweise im Text auf die entsprechende Originalliteratur.
Nun zum Inhalt der einzelnen Bände:
Band I “Holomorphic functions of several variables” umfaßt die Kapitel I und IX von [GR]. Die ersten Kapitel behandeln die elementaren Eigenschaften holomorpher Funktionen auf Gebieten des \({\mathbb C}^ n\) einschließlich des Satzes von Hartogs über komponentenweise Holomorphie. Im Abschnitt D werden der Riemann’sche Hebbarkeitssatz sowie der Satz von Bochner über die Holomorphiehülle von Tubengebieten bereitgestellt, während in E die Dolbeault-Kohomologie für Polyzylinder berechnet wird. Nachdem die Rungeschen Sätze gezeigt sind, werden in G Holomorphiegebiete im \({\mathbb C}^ n\) und deren Beschreibung mittels Holomorphkonvexität besprochen. Ergänzt wird dies durch die Einführung Riemannscher Gebiete und der Diskussion der Holomorphiehüllen in dieser Kategorie. Die Abschnitte J bis L enthalten die plurisubharmonischen Funktionen. Pseudokonvexe Gebiete sowie pseudokonvexe Riemannsche Gebiete werden dann in den folgenden zwei Paragraphen behandelt. Der Zusammenhang von Pseudokonvexität und den Dolbeault-Kohomologiegruppen schließt sich an. Im Abschnitt P gelingt dann die Lösung des Levi Problems sowohl für Gebiete im \({\mathbb C}^ n\) als auch für Riemannsche Gebiete über dem \({\mathbb C}^ n\) mit Hilfe der \({\bar \partial}\)-Gleichung. Das vorletzte Kapitel beschäftigt sich mit der Darstellung plurisubharmonischer Funktionen durch holomorphe Funktionen. Der Band schließt mit Gebieten im \({\mathbb C}^ n\), die Levi-pseudokonvex sind.
Gegenstand des 2. Bandes ist die Theorie der analytischen Mengen, der reduzierten komplexen Räume (hier “holomorphe Varietäten” genannt) und der holomorphen und meromorphen Funktionen auf diesen Gebilden. Dieser Band ist eine wesentliche Erweiterung dessen, was in [GR] in den Kapiteln II–V zu finden ist. Nachdem im ersten Paragraphen die wichtigsten algebraischen Eigenschaften des Ringes \(_ n{\mathcal O}_ 0\) der Keime holomorpher Funktionen in 0 in \({\mathbb C}^ n\) hergeleitet sind, werden im nächsten Abschnitt die analytischen Teilmengen (hier: “holomorphe Subvarietäten” genannt) und die kanonische Zuordnung von Keimen analytischer Mengen und den sie definierenden Idealen in \(_ n{\mathcal O}_ 0\) diskutiert. Zum Ende werden die hier holomorphe Varietäten genannten reduzierten komplexen Räume definiert. Die folgenden drei Paragraphen beschreiben analytische Mengen lokal als endlich verzweigte holomorphe Überlagerungen, was dann im Abschnitt E zum Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes führt. Der Paragraph F enthält die Kohärenzsätze von Oka und Cartan, ohne allerdings die Sprache der Garben zu benutzen. Danach wird der Begriff der Dimension holomorpher Varietäten ausführlich besprochen. Im Abschnitt H betrachtet man die Algebra \(_ V{\mathcal O}_ V\) der auf einer holomorphen Varietät V holomorphen Funktionen. Z.B. wird gezeigt, daß \(_ V{\mathcal O}_ V\) eine Fréchet-Algebra ist. Die folgenden beiden Paragraphen sind dem Tangentialraum an eine holomorphe Varietät, der tangentialen Dimension als einer weiteren lokalen Invarianten und den holomorphen Vektorfeldern gewidmet. Z.B. wird der Satz von Rossi vorgestellt, der die Regularität einer holomorphen Varietät durch die Existenz “guter” Vektorfelder beschreibt. Abschnitt K stellt die wesentlichen Fortsetzungssätze für holomorphe Funktionen und für holomorphe Untervarietäten über holomorphe Untervarietäten in Gebieten des \({\mathbb C}^ n\) vor. Während im Abschnitt M der projektive Raum eingeführt wird, werden in den Paragraphen L, N holomorphe Abbildungen und deren Eigenschaften besprochen. Sowohl der Satz von Remmert über eigentliche holomorphe Abbildungen als auch die Verallgemeinerung von Kuhlmann-Whitney über semi-eigentliche Abbildungen sind dort zu finden. Die folgenden zwei Paragraphen widmen sich wieder der Theorie der Funktionen, hier der meromorphen Funktionen, und zwar erst auf Gebieten im \({\mathbb C}^ n\), dann auf allgemeinen holomorphen Varietäten. Es wird z.B. der Satz von Weierstrass-Hurwitz über die meromorphen Funktionen auf \({\mathbb P}_ n\) bewiesen; zudem werden Fortsetzungssätze für meromorphe Funktionen behandelt. Dieser Band schließt mit der Problematik, daß der Riemann’sche Hebbarkeitssatz auf holomorphen Varietäten nicht mehr uneingeschränkt gilt. Besprochen werden also normale Varietäten und die Normalisierung holomorpher Varietäten.
Der dritte Band ist wieder globalen Fragen gewidmet (vgl. Chapter VI–VIII in [GR]). Dazu werden in den Abschnitten A, B die Standardinformationen über Garben bereitgestellt und die Sätze von Oka und Cartan aus Band II in die Sprache kohärenter Garben übersetzt. Die folgenden drei Paragraphen beschäftigen sich mit der Kohomologietheorie von Garben und der Möglichkeit, solche auszurechnen; es werden die Čech’schen Kohomologiegruppen und der Satz von Leray behandelt. Kapitel F enthält die Definition der Urbildgarben bzw. der direkten Bildgarben und Eigenschaften der zugehörigen Kohomologiegruppen. Unter Benutzung des in G hergeleiteten Cartan’schen Heftungslemmas wird dann in H mittels Čech-Kohomologie Theorem B über Polyzylindern gezeigt. Dieses Ergebnis wird im Abschnitt I zum Anlaß genommen, Stein-Varietäten als die holomorphen Varietäten einzuführen, die dem Theorem B genügen. Werden in I erste Eigenschaften Steinscher Varietäten wie z.B. Holomorphkonvexität besprochen, werden später das Spektrum der Algebra der globalen holomorphen Funktionen \(_ V{\mathcal O}_ V\) sowie die maximalen abgeschlossenen Ideale in \(_ V{\mathcal O}_ V\) über einer Steinschen Varietät V behandelt. Die Diskussion der Cousin-Probleme sowie des Poincaré-Problems findet sich im Kapitel K. In den folgenden Paragraphen werden Steinsche Varietäten mit Holomorphiekonvexität und Zusatzbedingungen charakterisiert; zudem wird eine kohomologische Charakterisierung der Holomorphiegebiete im \({\mathbb{C}}^ n\) gegeben. Auch wird die Kohomologie von Restmengen diskutiert. Das Buch schließt mit der Problematik, Steinsche Varietäten als Untervarietäten eines Zahlenraumes zu realisieren.