L’auteur raffine ici le résultat de son travail “Grands degrés de transcendance pour des familles d’exponentielles” [J. Number Theory 31, No.1, 1-23 (1989; Zbl 0661.10047)]. Plus précisément, soit \(\alpha_ 1,...,\alpha_ n\in {\bar {\mathbb{Q}}}\); \(v_ 1,...,v_ m\in {\mathbb{C}}\) tels que pour tout \((\mu_ 0,...,\mu_ m)\in {\mathbb{Z}}^{m+1}\) non nul on ait \(| \sum^{m}_{i=0}\mu_ iv_ i| \geq \exp (-M-M_ 0)\) dès que \(\max \{| \mu_ i|\); \(i=0,...,m\}\leq M\) et où \(v_ 0=1\) et \(M_ 0=M_ 0(v)\), alors \[ \deg tr_{{\mathbb{Q}}}{\mathbb{Q}}(\log \alpha_ 1,...,\log \alpha_ n,v_ 1,...,v_ m,\alpha_ 1^{v_ 1},...,\alpha_ n^{v_ m})\geq [\frac{(m+1)n}{m+n+1}]+1. \] Les cas \(m=1\), \(n=2\) contient, pour \(v_ 1\) “mal approché” par les rationnels, le théorème de Brownawell-Waldschmidt donnant la solution du huitième problème de T. Schneider. Le point essentiel de la démonstration et qui diffère du travail précédent, est d’introduire une dissymétrie dans la fonction auxiliaire construite.