Dans ce travail les auteurs utilisent le comportement asymptotique ponctuel des estimateurs d’une densité pour construire une expression asymptotique du risque \(L^ 1\). Ils montrent que cette expression est égal à une fonction L qui est croissante et dont le minimum se trouve en résolvant une équation du type \(\Lambda (v)=0\). Cette équation est facilement résolvable par la méthode de Newton.
Cette démarche est appliquée à différents estimateurs, en particulier aux estimateurs de noyau pour lesquels on vérifie que le changement du noyau implique seulement une transformation d’échelle pour le minimum. Cela permet de trouver les valeurs optimales, pour le risque \(L^ 1\), des fenêtres d’estimation. Ensuite un estimateur de la fonction L est défini et la valeur qui la minimise permet de trouver des fenêtres adaptatives asymptotiquement optimales presque surement. Le travail s’achève avec un étude numérique des procédures proposées.