On certain power series taking values from Mahler’s subclass \(U_ m\) for algebraic arguments. (Über gewisse Potenzreihen, die für algebraische Argumente Werte aus den Mahlerschen Unterklassen \(U_ m\) nehmen.) (German) Zbl 0665.10022
In der vorliegenden Dissertation konstruiert der Verf. durch die Weiterentwicklung einer von K. Alniaçik [Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, Sér. A 44 (1983), 39–82 (1979; Zbl 0538.10031)] verwendeten Methode neue transzendente Zahlen in der Mahlerschen Unterklasse \(U_ m\). Er beweist dazu den folgenden Hauptsatz.
In der Potenzreihe \(f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}c_ nx^ n\) sei \(c_ n=b_ n/a_ n\) mit ganzrationalen \(a_ n\), \(b_ n\) und \(a_ n>0\), \(b_ n\neq 0\). Für \(n\geq N_ 0\) sei \(a_ n>1\). Ferner sei \[ \lim_{n\to \infty}\frac{\log a_{n+1}}{\log a_ n}=\infty \quad \text{und}\quad \overline{\lim}_{n\to \infty}\frac{\log | b_ n|}{\log a_ n}<1. \] Dann ist der Konvergenzradius von \(f(x)\) unendlich, und für eine algebraische Zahl \(\alpha\neq 0\) vom Grad \(m\) ist \(f(\alpha)\in U_ m\). Der Hauptsatz wird dann auf den Fall der Potenzreihen mit algebraischen Koeffizienten verallgemeinert und auf solche mit Koeffizienten aus dem Henselschen \(p\)-adischen Körper übertragen.
In der Potenzreihe \(f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}c_ nx^ n\) sei \(c_ n=b_ n/a_ n\) mit ganzrationalen \(a_ n\), \(b_ n\) und \(a_ n>0\), \(b_ n\neq 0\). Für \(n\geq N_ 0\) sei \(a_ n>1\). Ferner sei \[ \lim_{n\to \infty}\frac{\log a_{n+1}}{\log a_ n}=\infty \quad \text{und}\quad \overline{\lim}_{n\to \infty}\frac{\log | b_ n|}{\log a_ n}<1. \] Dann ist der Konvergenzradius von \(f(x)\) unendlich, und für eine algebraische Zahl \(\alpha\neq 0\) vom Grad \(m\) ist \(f(\alpha)\in U_ m\). Der Hauptsatz wird dann auf den Fall der Potenzreihen mit algebraischen Koeffizienten verallgemeinert und auf solche mit Koeffizienten aus dem Henselschen \(p\)-adischen Körper übertragen.
Reviewer: Wolfgang Haneke (Marburg)
