Projection methods solving rectangular systems of linear equations. (English) Zbl 0659.65038
The paper gives a survey on 39 papers concerning stationary and instationary linear iterative one-step methods for over- or underdetermined systems of linear algebraic equations as well as techniques for acceleration of convergence. The limits of the iterates are generalized solutions and generalized matrix inverses, respectively, of different types. The basic results are already contained both in the author’s dissertation [Nova Acta Leopold., Neue Folge 52, No.238 (1979; Zbl 0416.65029)] and in his book [Vorlesungen über numerische Mathematik. I. (1984; Zbl 0556.65018)].
Reviewer: L.Berg
MSC:
| 65F20 | Numerical solutions to overdetermined systems, pseudoinverses |
| 65F10 | Iterative numerical methods for linear systems |
Keywords:
survey; linear iterative one-step methods; over- or underdetermined systems; acceleration of convergence; generalized solutions; generalized matrix inversesReferences:
| [1] | Albrand, H.-J., Über die Lösung linearer Gleichungssysteme durch Spaltenapproximation, Wiss. Z. Univ. Rostock, Math. Nat. R., 21, 8, 755-757 (1972) · Zbl 0291.65008 |
| [2] | Albrand, H.-J., Über ein modifiziertes Gesamtschrittverfahren, Beiträge Numer. Math., 2, 7-11 (1974) · Zbl 0296.65014 |
| [3] | Ansorge, R., Über die Konvergenz der Iterationsverfahren zur Auflösung linearer Gleichungssysteme im Falle einer singulären Koeffizientenmatrix, Z. Angew. Math. Mech., 40, 427 (1960) · Zbl 0094.30902 |
| [4] | Berg, L., General iteration methods for the evaluation of linear equations, Numer. Funct. Anal. Optimiz., 1, 4, 365-381 (1979) · Zbl 0358.65049 |
| [5] | Berg, L., Ein Gradientenverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, Beiträge Numer. Math., 10, 7-13 (1981) · Zbl 0424.65008 |
| [6] | Berg, L., General operational calculus, Lin. Algebra Appl., 84, 79-97 (1986) · Zbl 0562.44006 |
| [7] | Berg, L., Iterative solution of simultaneous equations, J. Comput. Appl. Math., 24 (1988), (this issue) · Zbl 0662.65026 |
| [8] | Björck, Å.; Elfving, T., Accelerated projection methods for computing pseudoinverse solutions of systems of linear equations, BIT, 19, 145-163 (1979) · Zbl 0409.65022 |
| [9] | de la Garza, A., An iterative method for solving systems of linear equations, Oak Ridge Gaseous Diffusion Plant, Report K-731 (1951), Oak Ridge, TN |
| [10] | Householder, A. S., Principal of Numerical Analysis (1953), McGraw-Hill: McGraw-Hill New York · Zbl 0133.37802 |
| [11] | Householder, A. S.; Bauer, F. L., On certain iterative methods for solving linear systems, Numer. Math., 2, 55-59 (1960) · Zbl 0168.13501 |
| [12] | Kaczmarz, S., Angenäherte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen, Bull. Internat. Acad. Polon. Sci., Cl. A, 1937, 355-357 (1937) · Zbl 0017.31703 |
| [13] | Kiesewetter, H., Vorlesungen über Lineare Approximation (1973), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin · Zbl 0264.41007 |
| [14] | Kiesewetter, H.; Maess, G., Elementare Methoden der numerischen Mathematik (1974), Akademie Verlag: Akademie Verlag Berlin, Springer, Wien, 1974 · Zbl 0354.65001 |
| [15] | Krutzke, W., Konvergenzverbesserung der Spaltenapproximation bei der Anwendung auf lineare Gleichungssysteme, Wiss. Z. Univ. Rostock, Math.-Nat. R., 24, 10, 1257-1260 (1975) · Zbl 0436.65017 |
| [16] | Maess, G., Ein Gesamtschrittverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, Acta Polytechnica, Práce ČVUT υ Praže, 3, 65-70 (1973) |
| [17] | Maess, G., Lösung linearer Gleichungssysteme durch Spaltenapproximation, Wiss. Z. Univ. Rostock, Math.-Nat. R., 23, 759-761 (1974) · Zbl 0436.65015 |
| [18] | Maess, G., Extrapolation bei Iterationsverfahren, Z. Angew. Math. Mech., 56, 121-122 (1976) · Zbl 0329.65039 |
| [19] | Maess, G., Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme, Nova Acta Leopoldina, 52, 238 (1979), revised version · Zbl 0416.65029 |
| [20] | Maess, G., Ein stochastischer Projektionsalgorithmus zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme, Rostock. Math. Kolloq., 4, 47-54 (1977) · Zbl 0364.65026 |
| [21] | Maess, G., Iterative solution of rectangular systems of linear algebraic equations, (Computational Mathematics, 13 (1984), Banach Center Publications), 527-533 · Zbl 0561.65022 |
| [22] | Maess, G., Vorlesungen über numerische Mathematik (1984), Akademie-Verlag: Akademie-Verlag Berlin, Birkhäuser Verlag, Basel, 1985 |
| [23] | Maess, G.; Peters, W., Lösung inkonsistenter linearer Gleichungssysteme und Bestimmung einer Pseudoinversen für rechteckige Matrizen durch Spaltenapproximation, Z. Angew. Math. Mech., 58, 233-237 (1978) · Zbl 0378.65025 |
| [24] | Marčuk, G. I.; Kuznecov, Ju. A., Iteracionnye metody i kvadratičnye funkcionaly, (Metody Vyčisl. Mat. (1975), Izd. Navka: Izd. Navka Novosibirsk), 4-143 |
| [25] | Nashed, M. Z., Generalized Inverses and Applications (1976), Academic Press: Academic Press New York · Zbl 0346.15001 |
| [26] | Peters, W., Lösung linearer Gleichungssysteme durch Projektion auf Schnitträume von Hyperebenen und Berechnung einer verallgemeinerten Inversen, Beiträge Numer. Math., 5, 129-146 (1976) · Zbl 0359.65024 |
| [27] | Peters, W., Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme im Sinne einer energetischen Norm, Z. Angew. Math. Mech., 56, 170-172 (1976) · Zbl 0365.65024 |
| [28] | Peters, W.; Schott, D., Über Nullräume, Wertebereiche und Relationen von Operatoren, die bei stationären Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungen auftreten, Rostock. Math. Kolloq., 17, 71-85 (1981) · Zbl 0525.65034 |
| [29] | Plemmons, R. J., Direct iterative methods for linear systems using weak splittings, Acta Univ. Carolinae, Math. Phys., 15, 117-120 (1974) · Zbl 0318.65017 |
| [30] | Ruge, J.; Stüben, K., Efficient solution of finite difference and finite element equations by algebraic multigrid (AMG), Arbeitspapiere der Geselschaft für Mathematik und Datenverarbeitung Nr. 89 (1984), Bonn · Zbl 0581.65072 |
| [31] | Schott, D., Projektionskerne einer Operatorfolge, Beiträge zur Analysis, 18, 31-41 (1981) · Zbl 0511.47008 |
| [32] | Schott, D.; Peters, W., Über Nullräume, Wertebereiche und Relationen von Operatoren, die bei instationären Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungen auftreten, Z. Anal. Anwend., 2, 41-57 (1982) · Zbl 0519.65032 |
| [33] | Tanabe, K., Projection Method for solving a singular system of linear equations and its applications, Numer. Math., 17, 203-214 (1971) · Zbl 0228.65032 |
| [34] | Tanabe, K., Characterization of linear stationary iterative processes for solving a singular system of linear equations, Numer. Math., 22, 349-359 (1974) · Zbl 0312.65031 |
| [35] | Young, D. M., Iterative Solution of Large Linear Systems (1971), New York · Zbl 0204.48102 |
| [36] | Zielke, G., Verallgemeinerte inverse Matrizen, (Jahrbuch Überblicke Mathematik 1983 (1983), Bibliographisches Institut AG: Bibliographisches Institut AG Mannheim), 95-116 · Zbl 0531.15002 |
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