Pour une translation T définie sur un quotient compact X de groupe nilpotent d’ordre 2, on démontre deux théorèmes:
- le premier affirme que la suite \((\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=O}f(T^ nx))\) converge pour toute fonction continue f sur X et pour tout point x de X; de façon équivalente on peut affirmer que les parties minimales du système dynamique (X,T) sont uniquement ergodiques.
- le second donne une formule presque sûre explicite de la limite de la suite \[ (\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=O}f_ 1(T^ nx)\cdot f_ 2(T^{2n}x)\cdot f_ 3(T^{3n}x)) \] quand T est ergodique et \(f_ 1\), \(f_ 2\), \(f_ 3\) sont mesurables et bornées sur X.
On utilise, pour démontrer le premier résultat, le théorème ergodique de Wiener et Wintner.
Ce résultat est utilisé dans une autre publication pour prouver la convergence en moyenne d’expressions de la forme \[ \frac{1}{N}\sum^{N- 1}_{n=O}f_ 1(\tau^ n\omega)\cdot f_ 2(\tau^{2n}\omega)\cdot f_ 3(\tau^{3n}\omega) \] où \(f_ 1\), \(f_ 2\) et \(f_ 3\) sont trois fonctions mesurables bornées définies sur un espace dynamique mesuré (\(\Omega\),\(\mu\),\(\tau)\) quelconque.