Die vorliegende Arbeit stützt sich wesentlich auf Arbeiten von H. Rossi und M. Vergne [[1] J. Funct. Anal. 13, 324-389 (1973; Zbl 0279.32019); Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., IV. Sér. 9, 31-80 (1976; Zbl 0398.32018); Pac. J. Math. 65, 193-207 (1976; Zbl 0354.22018)]. Gegeben sei eine normale j-Algebra; das ist ein Tripel (\({\mathfrak g},j,\omega)\), bestehend aus einer vollständig auflösbaren reellen Liealgebra \({\mathfrak g}\), einem linearen Endomorphismus j von \({\mathfrak g}\) mit j \(2=- 1_{{\mathfrak g}}\) und einer Linearform \(\omega\in {\mathfrak g}\) *, mit bestimmten Eigenschaften. Sei G die zu \({\mathfrak g}\) gehörige einfach zusammenhängende Liegruppe. Ziel der Arbeit ist es, eine unitäre Darstellung von G anzugeben, in der (bis auf eine Menge vom Plancherel- Maß 0) jede irreduzible Darstellung mit Vielfachheit eins vorkommt.
Einer normalen j-Algebra läßt sich gemäß [1] ein Siegelsches Gebiet D (zweiter Art) assoziieren, auf dem G einfach transitiv wirkt. Der Schilow-Rand S(D) von D is diffeomorph zu einem nilpotenten Normalteiler N(D) von G. Es exisitiert eine Untergruppe G(0) von G, so daß G ein semidirektes Produkt \(G=G(0)\ltimes N(D)\) ist. Ist D ein Siegelsches Gebiet erster Art, so ist N(D) abelsch, und man zeigt leicht, daß die induzierte Darstellung \(\tau =Ind\) \(G_{G(0)} 1\) die gewünschte Eigenschaft hat. Ist D dagegen nicht von erster Art, so ist N(D) 2-nilpotent, und die in \(\tau\) vorkommenden irreduziblen Darstellungen haben unendliche Vielfachheit.
Nun läßt sich natürlich auf abstrakte Weise mittels direkter Integrale ein invarianter Unterraum des Darstellungsraumes von \(\tau\) angeben, so daß die Einschränkung von \(\tau\) auf N(D) als Darstellung in diesem Unterraum vielfachheitenfrei ist. Ziel des Autors ist aber eine kanonische Konstruktion der gewünschten Darstellung unter Berücksichtigung geometrischer Strukturen. Diese gelingt nun mittels Ausnutzung der komplexen Struktur auf S(D)\(\hat=N(D)\), welche \({\bar \partial}_ b\)-Kohomologieräume quadratisch integrierbarer Funktionen auf N(D) liefert, auf denen N(D) durch Linkstranslation wirkt. So erhalten wir eine Darstellung von N(D), die nun noch - mittels nilpotenter harmonischer Analyse - zu einer Darstellung von G geliftet werden muß. Hierzu werden Kirillov-Theorie, Fock-Darstellungen, operatorwertige Fourier-Transformation sowie die Mackey-Maschinerie verwendet.