Das cet important article l’A. continue ses recherches sur le problème des sélections des fonctions analytiques multiformes convexes, avec applications au problème de la couronne, qu’il avait commencées dans Trans. Am. Math. Soc. 294, 367-377 (1986; Zbl 0594.32008).
D’après le résultat principal de cet article (Theorem 1.4) à chaque fonction analytique multiforme, définie sur un domaine ayant un nombre fini de trous, est associée une fonction méromorphe ayant ses pôles aux points critiques de la fonction de Green associée à ce domaine. Ce résultat est même amélioré dans le cas où le domaine est une couronne.
Tout cela est utilisé pour donner une nouvelle démonstration du théorème de la couronne dans le cas d’un domaine avec un nombre fini de trous. Cette nouvelle démonstration, contrairement à celles de Forelli, Stout et Gamelin, a l’avantage d’être directe, c’est-à-dire de ne pas ramener le cas d’un domaine avec un nombre fini de trous au cas d’un disque.
Les mêmes méthodes permettent d’améliorer légèrement certains résultats de T. Wolff, à propos de savoir quand une puissance d’une fonction donnée de \(H^{\infty}(G)\) appartient à l’idéal engendré par n fonctions données dans \(H^{\infty}(G)\).