Cyclic homology and the algebraic K-theory of spaces. I. (English) Zbl 0615.55009
Applications of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Proc. AMS-IMS-SIAM Joint Summer Res. Conf., Boulder/Colo. 1983, Part I, Contemp. Math. 55, 89-115 (1986).
[For the entire collection see Zbl 0588.00014.]
Es wird gezeigt, daß reduzierte K-Theorie einfach zusammenhängender Räume rational durch zyklische Homologie des Kettenkomplexes der Schleifengruppe von X berechnet wird. Bis auf Dimensionsverschiebung bedeutet dies - wie zuerst T. Goodwillie beobachtet hat - eine Darstellung als rationale Homologie H(\(\wedge X \times_{S^ 1} ES^ 1,BS^ 1)\), wobei \(\wedge X\) der freie Schleifenraum ist. Beweistechnisch wesentlich ist die Ausdehnung des Resultats von J.- L. Loday und D. Quillen [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 296, 295-297 (1983; Zbl 0536.17006)] über Berechnung von Primitiven und Coinvarianten (Thm. II) auf den Fall von Algebren vom Typ \(C_*(\Omega X)\). Dazu werden zunächst grundlegende Dinge über Connes’ zyklische Homologie und Hochschild-Homologie in den Kontext übertragen. In Abschnitt III wird skizziert wie mit Methoden der rationalen Homotopietheorie die angesprochene Berechnung erfolgen kann.
Ein Ansatz zu einer ganzzahligen Berechnung in ähnlicher Situation findet sich bei [G. E. Carlsson, R. L. Cohen, T. Goodwillie and W. C. Hsiang, ”The free loop space and the algebraic K-theory of spaces”, K-Theory (1987)].
Es wird gezeigt, daß reduzierte K-Theorie einfach zusammenhängender Räume rational durch zyklische Homologie des Kettenkomplexes der Schleifengruppe von X berechnet wird. Bis auf Dimensionsverschiebung bedeutet dies - wie zuerst T. Goodwillie beobachtet hat - eine Darstellung als rationale Homologie H(\(\wedge X \times_{S^ 1} ES^ 1,BS^ 1)\), wobei \(\wedge X\) der freie Schleifenraum ist. Beweistechnisch wesentlich ist die Ausdehnung des Resultats von J.- L. Loday und D. Quillen [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 296, 295-297 (1983; Zbl 0536.17006)] über Berechnung von Primitiven und Coinvarianten (Thm. II) auf den Fall von Algebren vom Typ \(C_*(\Omega X)\). Dazu werden zunächst grundlegende Dinge über Connes’ zyklische Homologie und Hochschild-Homologie in den Kontext übertragen. In Abschnitt III wird skizziert wie mit Methoden der rationalen Homotopietheorie die angesprochene Berechnung erfolgen kann.
Ein Ansatz zu einer ganzzahligen Berechnung in ähnlicher Situation findet sich bei [G. E. Carlsson, R. L. Cohen, T. Goodwillie and W. C. Hsiang, ”The free loop space and the algebraic K-theory of spaces”, K-Theory (1987)].
Reviewer: R.Schwänzl
MSC:
| 55N99 | Homology and cohomology theories in algebraic topology |
| 18F25 | Algebraic \(K\)-theory and \(L\)-theory (category-theoretic aspects) |
| 55P62 | Rational homotopy theory |
| 55P10 | Homotopy equivalences in algebraic topology |
